WisFaq!

Zwaartepunt

Geachte,
Kunt u mij helpen bij het volgende probleem?

Gegeven zijn de punten O(0,0), A(42,0) en B(21,21$\sqrt{3}$). Driehoek OAB is gelijkzijdig. C ligt op AB zodat AC:CB=2:1 en D ligt op OB zo, dat OD:DB=1:2. Punt E is het snijpunt van de lijnstukken OC en AD. Toon aan dat de x-coördinaat van E gelijk aan 12 is.

Er zijn verschillende oplossingen: bijvoorbeeld met vectoren en vergelijkingen van lijnen. Dat begrijp ik allemaal, maar...

Ik snap de volgende uitleg niet:

• Als in O, B en A achtereenvolgens massa's 4, 2 en 1 liggen, is C het zwaartepunt van de massa's in A en B en is D het zwaartepunt van de massa's in O en B.
• E is het zwaartepunt van deze drie massa's, dus de x-coördinaat van E is 4/7·0 + 2/7·21 + 1/7·42 = 12

1. Hoe komt men aan die massa's 4, 2 en 1?
2. C is het zwaartepunt van de massa's in A en B?
3. D is het zwaartepunt van de massa's in O en B?
4. E is het zwaartepunt van de drie massa's?

Alvast bedankt voor uw uitleg.

Katrijn
16-4-2022

Antwoord

Het zwaartepunt is het punt waarop een figuur perfect kan balanceren indien de massa's in de hoekpunten gelijk zijn. Maar nu leg je andere gewichten in de hoekpunten dan verschuift het zwaartepunt.

In 0, A en B liggen respectievelijk massa's 4,1 en 2. Dat is dus bij deze opgave het uitgangspunt ofwel dit is gegeven!
Omdat de massa verhouding tussen A en B is 1:2 zal het zwaartepunt (balanceerpunt) niet meer in het midden van AB liggen maar dichter bij de zwaarste massa in B. Dan kom je uit in punt C met verhouding AC:CB=2:1. Denk aan de natuurkunde: moment = massa x arm.

De massaverhouding tussen O en B = 4:2 = 2:1 en zo kom je voor dit lijnstuk uit in punt D

Nu voor de hele driehoek OAB de momentenstelling (afgeleid uit de natuurkunde) toepassen:

Die luidt z = 1/M (m₁·a₁+m₂·a₂+m₃·a₃)

z = de vector naar het zwaartepunt
M = totale massa = 7
De afzonderlijke massa's zijn m1=4, m2=2 en m3=1
a1 t/m a3 zijn de vectoren naar de bijbehorende hoekpunten. Je mag ook daarbij afzonderlijk de x en y coordinaten nemen. Omdat we alleen de x coordinaat nodig hebben wordt dat nu.

X_Z = 1/7 (4·0 + 2·21 + 1·42) = 12
Hetzelfde zou je kunnen doen om Y_Z te vinden.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
16-4-2022