WisFaq!

Loodrecht vlak vinden die door rechte gaat

Hallo, ik heb jullie hulp nodig. Ik snap niet bij oefening 2Oa wat ze bedoelen met dat we vlak gamma moeten beschouwen als een exemplaar van een vlakkenwaaier. Wat bedoelen ze met "exemplaar" en hoe kan ge de vlakkenwaaier toepassen wnr je geen punten gegeven werd?

---

Oefening 20a
Bepaal een vergelijking van het vlak $
\gamma
$ dat de rechte $
a \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{x + 3y - 5 = 0} \\
{ - 3y - 2z + 3 = 0} \\
\end{array}} \right.
$ omvat en loodrecht staat op het vlak $
\alpha \leftrightarrow x - 2y + 3z + 7 = 0
$.

1. door $
   \gamma
   $ te beschouwen als een vlakkenwaaier door $a$.
2. op een andere manier.

---

Bij oefening 20B. Ik dacht aan een 4x4 det matrix met XYZ de punt halen en de richtingsgetal van een rechte ik heb daar "Y"vervangen met t en zo dat stelsel vgl van de rechte opgelost dus ik kom dan uit: x=5-3t, y=t en z=3-3t op 2 allemaal, dus richtings:(-3,1,-3 op 2) en de punt van de rechte is dan: (5,0, 3 op 2) en omdat het loodrecht moet zijn met vlak alpha dacht ik (-1,1,1) als de laatste richting want dan wordt vlak alpha 0, maar mijn antwoord komt fout uit... wat doe ik fout? Zouden jullie me helpen hiermee?

Muharrem
14-4-2022

Antwoord

De vlakkenwaaier door $a$ krijg je door de twee vlakken te combineren:
$$\lambda(x+3y-5)+\mu(-3y-2z+3)=0
$$door $\lambda$ en $\mu$ te variëren krijg je alle vlakken die door $a$ gaan. Nu moet je $\lambda$ en $\mu$ zo kiezen dat het vlak loodrecht op $\alpha$ staat, en dat doe je door te zorgen dat de normaalvector loodrecht op die van $\alpha$ staat, op $*1,-2,3)$ dus. Hiervoor moet je de vergelijking van de waaier een beetje omschrijven tot
$$\lambda x +(3\lambda-3\mu)y -2\mu x +(-5\lambda+3\mu)=0
$$Het begin bij 20b is goed, maar meng niet taal en wiskunde door elkaar: schrijf $z=\frac32-\frac32t$ (of $z=3/2-3/2\cdot t$) in plaats van "$z-3-3t$ op $2$ allemaal". De keuze voor $(-1,1,1)$ is niet goed, die richting is evenwijdig aan het vlak; je moet juist $(1,-2,3)$ als tweede richting voor je lijn hebben want die staat loodrecht op $\alpha$.

kphart
14-4-2022