WisFaq!

Reeksen van getallen

Beste,

Ik moet bepalen of de reeksen (n^(n-1/n))/(n-1/n)^n met n=2 tot $\infty $
convergeert of divergeert. Volgens mijn berekening divergeert ze en zo staat het ook in het boek.

Wat ik bij zo'n vraag altijd doe is eerst de limiet berekenen van n naar $\infty $ want als deze al niet 0 is kan je al besluiten dat ze divergent is.

Deze limiet is niet zo simpel om op te lossen. Wat ik deed is asymptotische equivalentie gebruiken. Nu weet ik niet of je dat mag toepassen op een limiet.

Ik gebruikte dat n-1/n asymptotisch equivalent is met n op n naar $\infty $ .
dan wordt het wel heel simpel want dan is de limiet gewoon 1.

Ik weet niet of mijn redenering klopt.

Mike
12-4-2022

Antwoord

Die redenering moet echt wat voorzichtiger. Gebruik makend van de wetenschap dat waarschijnlijk die limiet op 1 moet uitkomen ga ik het volgende doen:

Voor n $\to $ $\infty $ geldt:

(n^(n-1/n))/(n-1/n)ⁿ $>$ (n^(n-1/n))/(nⁿ) = n^(-1/n)

Dan schrijf ik die macht even anders:
n^(-1/n) = e^ln(n^(-1/n)) = e^((-1/n)ln(n))

Nu is lim n $\to $ $\infty $ ln(n)/n = 0 (dit is een standaard limiet)

Dus die oorspronkelijke limiet kan nu nooit kleiner worden dan 1.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
12-4-2022