WisFaq!

Vectorvoorstelling lijn in Oxy-vlak

Hoe kun je een lijn in een Oxy-vlak met behulp van een vectorvoorstelling aangeven? En als er twee lijnen zijn in dat vlak, hoe kun je het snijpunt daarvan berekenen?

gerben aman
2-4-2003

Antwoord

Kies een vector r die evenwijdig is met de lijn.
Kies dan een vector naar een willekeurig punt OP die lijn.
In het onderstaande worden vectoren horizontaal geschreven. De verticale schrijfwijze is echter gebruikelijk.

Voorbeeldje.
Een lijn heeft als (gewone) vergelijking 3x + 2y = 5
Een richtingsvector is (2, -3) want de vector (3, 2) is een normaal vector.
Vector naar een punt op de lijn: (1,1)
Vectorvoorstelling:
(x,y) = (1,1) + p(2, -3)
Hierin is p een willekeurig reëel getal.

Tweede lijn:
x + y = 1¹/₂
Vectorvoorstelling:
(x,y) = (¹/₂, 1) + q(1, -1)

Zo'n snijpunt ligt op beide lijnen.
Er is dan een p en een q zodat de x en de y van de ene lijn gelijk zijn aan de x en de y van de andere.
Dus
1 + 2p = ¹/₂ + q
1 - 3p = 1 - q
Optelling van beide geeft:
2 - p = 1¹/₂
p = ¹/₂
(en q reken je alleen maar uit als je wilt controleren)
Dus p gebruikend in de eerste vectorvoorstelling geeft als snijpunt de vector
(x,y) = (1 + 1, 1 - 1¹/₂) = (2, -¹/₂)

dk
2-4-2003