WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen bij puntsymmetrie

Bij de diagnostische toets wordt gevraagd om te bewijzen dat f(x)=sin(2x)+cos(x) puntsymmetrisch is in het punt (1¹/₂ $\pi$ , 0). In het antwoord vullen ze dit in volgens de formule (deze stap snap ik):

sin(3$\pi$ + p) + cos(1¹/₂$\pi$ + p) = -sin(2p) + sin(p) en
sin(3$\pi$ - p) + cos(1¹/₂$\pi$ - p) = sin(2p) - sin(p)

Maar ik snap niet goed hoe ze tot deze vereenvoudiging komen? Ik snap dat je dan de goniometrische vergelijkingen moet gebruiken, maar ik weet niet welke ze hier toepassen?

Janne
10-3-2022

Antwoord

Ik denk dat de eerste regel niet klopt. Ik kom uit op:

sin(3$\pi$ + 2p)$\to$sin($\pi$ + 2p)$\to$-sin(2p)

Hier is de eerste stap wegens de periode van 2$\pi$ van sin(x). Je kunt dus zonder problemen 2$\pi$ aftrekken. De tweede stap feitelijk ook. In 't algemeen geldt sin(x)=-sin(x+$\pi$). Je kunt zeggen dat de sinus bij x dezelfde waarden aanneemt als bij x+$\pi$ maar dan negatief.

Wat denk je? Heb ik daar een punt?

De uitkomst klopt denk ik wel uiteindelijk. De andere drie omzettingen gaan op dezelfde manier. Gebruik daarbij (eventueel) de formules onder het kopje 'formules' op goniometrie om van cosinus naar sinus te geraken.

Maar misschein kan je dat beter steeds even zelf proberen te bedenken. Je kunt daarbij gebruik maken van de wetenschap dat (bijvoorbeeld) de cosinus een kwart pediode op de sinus achter loopt of dat de sinus een halve periode terug tegengesteld is... Dat soort dingen!

Mocht het niet lukken dan laat maar weten dan zal ik 't voordoen...

WvR
10-3-2022