WisFaq!

Delers van geometrische reeks met gehele getallen

Eerder plaatste ik de volgende vraag:
STELLING

n Is een natuurlijk getal.
p Is een priemgetal.

f(n,p) = 1 + n + n² + …. + n^p-1

Als n = 1 mod p dan is p een deler van f(n,p)

Als d een deler is van f(n,p) èn d ≠ 0 mod p dan is d = 1 mod p

Daarop kreeg ik als antwoord:
De eerste bewering klopt: omdat n=1modp geldt n^i=1modp en dan geldt dus f(n,p)=p·1=0modp.

De tweede klopt niet: neem p=2 en n=7, dan f(7,2)=8 en 4 is een deler van 8, maar 4=0mod2.

Maar dit klopt juist wel!

Immers als n=7 en p=2 dan is n=1 mod2
De stelling zegt dan dat p een deler is en dat klopt dus.
Als p=2 dan is de stelling triviaal.

Chris Mank
23-2-2022

Antwoord

Het antwoord op de eerste versie van de vraag was correct; de eis was immers alleen $d\neq p$.
Bij de tweede versie stond niet dat het een verbetering van de eerste was of een reactie op het eerste antwoord, ik heb toen over de verandering heengelezen en ten onrechte de vraag als `al beantwoord' aangemerkt. Inmiddels is er een nieuwe versie, met het extra gegeven dat $d$ priem moet zijn.
Laten we die dan als definitieve versie beschouwen. Het feit dat het antwoord op zich laat wachten duidt er op dat de vraag niet eenvoudig is.

kphart
6-3-2022