WisFaq!

Niet exacte differentiaalvergelijking

Goede middag ,
De volgende DV is gegeven
(y²+2)dx-(xy+2y+y³)dy=0
(Gelijkt heel veel op de gestelde vraag en beantwoord door Prof HART WAARBIJ y²was gegeven en niet 2y).
Ik rekende na met M(y) en N(x) dat de uitslagen 2y en -y zouden zijn. Dus niet exacte DV.
Verder rekenend met het verschil tussen beide uitslagen gedeeld door N krijgen we:
3y/(y²+2)
IF wordt dan :
=e^(ln(y²+2)³/2
=(y²+2)³/2 (A)
Invullend (A)in de gegeven DV bekomen we:
(y²+2)³/2.(y²+2)dx-(xy+2y+y²)(y²+2)³/2
M(y)= 5y(y²+2)³/2 (partiële afleiding naar y)
N(x)=-y((y²+2)³/2 en volgende termen nul.(Partiëel naar x)
het komt er dus op aan dat de DV nu wel zou moeten exact zijn. Kan U ze vinden dan zou ik daar heel blij mee zijn.
En dan de afwerking graag zo er iemand wat tijd zou hebben .
Waarvoor oprechte dank !
Met vriendelijke groeten.
Rik
PS.
De oplossing zou zijn:
x=2+y²+C√(y²+2) met IF =1/√(y²+2) En daar zou dan een fout moeten zijn in mijn berekeningen..

Rik Lemmens
3-12-2021

Antwoord

1. Ik ken/begrijp de methode niet die je gebruikt om de integrerende factor te vinden. Kun je die uitleggen?

2. Het lijkt erop dat je $(y^2+2)^{\frac32}$ hebt gevonden; maar die is niet goed en dat laat je eigen berekening al zien:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=5y(y^2+2)^{\frac23}
$$is ongelijk aan
$$\frac{\partial N}{\partial x}=-y(y^2+2)^{\frac23}
$$
3. De in het antwoord gegeven factor is ook niet goed; dat kun je controleren door invullen. Na invulling krijg je
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac y{\sqrt{y^2+2}}
$$is ongelijk aan
$$\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac y{\sqrt{y^2+2}}
$$
4. Die gegeven factor is dus wel goed als je van het minteken een plus maakt; er komt dan:
$$\sqrt{y^2+2}dx+\left(\frac{xy}{\sqrt{y^2+2}}+y\sqrt{y^2+2}\right)dy=0
$$die is exact, maar de oplossing wordt dan
$$x\sqrt{y^2+2}+\frac13(y^2+2)^{\frac32}=C
$$en dat klopt weer net niet met het gegeven antwoord.

5. Als je methode van de vraag waar je naar verwijst toepast krijg je weer $(y^2+2)^{-\frac32}$ als integrerende factor en
$$\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x-
\left(\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}} +
\frac{y^3+2y}{(y^2+2)^{\frac32}}\right)\,\mathrm{d}y=0
$$
ofwel
$$\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x-
\left(\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}} +
\frac{y}{\sqrt{y^2+2}}\right)\,\mathrm{d}y=0
$$
als exacte differentiaalvergelijking.
En die geeft dan wel de gegeven oplossing.

kphart
3-12-2021