WisFaq!

Eerste graad DV tweede lid nul

Gozede morgen ,
Ik ben al even bezig geweest met het berekenen van volgende DV:
(2+y²)dx-(xy+y²+y^3)dy=0
Ik zocht de exactheid of niet van deze Dv
Partiëel M naar x gaf : 2y (1)
Partiëel N naar x gaf ::-y (2) Niet exact (1) (2).
Ik berekende dan
(partiëel M naar y)- (-)(partiëel N naar x)/(M)
en bekomen dan 2y-(-y)=3y
Ik bekomen dan 3/y²+2 als IF.
NU zou de DV wel exact moeten zijn. maar ik heb geen idee hoe ik hier de productformule voor afgeleiden kan toepassen als ik 3/(y²+2) invoer in het linker lid.
De cursus geeft voor IF wel 2y-y=y
en INT y/y²+2)dy= 1/2(d(y²+2)/y²+2) = 1/2(ln(y²+2)= grondtal e (macht(ln(y²+2)^1/2)) =1/sqrt(y²+2).
Wat hulp is welkom .
Groetjes

Rik Lemmens
20-11-2021

Antwoord

Waarom zou het quotient dat je noemt een integrerende factor moeten zijn? En dat quotient is overigens gelijk aan $3y/(y^2+2)$.
Om te controleren of het een integrerende factor is kun je ermee vermenigvuldigen en opnieuw de exactheidsvoorwaarde controleren, met de nieuwe $M$ (dat is $3y$) en de nieuwe $N$ (dat is $-(3xy^2+3y^3+3y^4)/(y^2+2)$).

Hetzelfde kun je doen met de door de cursus gesuggereerde integrerende factor. Beiden werken overigens niet.

Als je de methode van dit antwoord toepast (en ook veronderstelt dat $\phi$ alleen van $y$ afhangt) krijg je deze differentiaalvergelijking:
$$(y^2+2)\cdot\phi' = -3y\cdot\phi
$$of
$$\frac{\phi'}\phi=-\frac{3y}{y^2+2}
$$met als oplossing $\phi(y)=(y^2+2)^{-\frac32}$, en die factor maakt de differentiaalvergelijking wel exact.

kphart
20-11-2021