WisFaq!

Tweede lid differentiaalvergelijking

Goede morgen
xdy-ydx=x√(x²-y²)dy
Ik zie vrijwel dadelijk de IF 1/x²
Dit geeft de quotiëntregel voor afgeleiden.
(xdy-ydx)/x= d(y/x)
dus d(y/x)-√(x²-y²)/x=0( beide leden x(1/x²)
Bij integratie komt er dan
I(d(y/x)-I√(x²-y²/x)dy=0
y/x-I(√(x²-y²)/x=0
En daar heb ik graag wat tips bij nodig !
Groetjes en fijne zondag !

Rik Lemmens
7-11-2021

Antwoord

In principe hoeft je alleen $\sqrt{x^2-y^2}$ te primitiveren met betrekking tot $y$.
De primitieve $\int\sqrt{x^2-y^2}\,\mathrm{d}y$ staat in tabellen of kun je met partiële integratie doen:
$$\int\sqrt{x^2-y^2}\,\mathrm{d}y = \frac y2\sqrt{x^2-y^2}-\frac12\arcsin\left(\frac yx\right)
$$Met als resultaat
$$\frac yx=\frac y{2x}\sqrt{x^2-y^2}-\frac1{2x}\arcsin\left(\frac yx\right) + C
$$of
$$y=\frac y{2}\sqrt{x^2-y^2}-\frac1{2}\arcsin\left(\frac yx\right) + Cx
$$

kphart
7-11-2021