WisFaq!

Bewijstechnieken 2

Stelling van Bolzano

Als f continu is in [a,b] en f(a).f(b) $<$ 0 dan bestaat er een punt m element van ]a,b[ zodanig dat f(m) = 0

In een wiskundeboek vond ik hiervoor het volgende bewijs :

Stel we hebben de situatie waarbij f(a) $<$ 0 en f(b) $>$ 0

Beschouw de verzameling D = {x element [a,b];f(x) $<$ 0}

D =/= {} want a element van D
D is gemajoreerd want b element van majD
De verzameling D heeft dus een supremum.
We noemen dat supremum m en tonen aan dat f(m) = 0
1) Veronderstel f(m) $<$ 0, dan is er volgens een voorgaande stelling een interval ]m-delete,m+delta[ waarvoor f(x) $<$ 0.
Er bestaat dus een p met de volgende eigenschappen :
p element van [a,b], m $<$ p en f(p) $<$ 0. Dit is in strijd met supD = m.
2) Veronderstel f(m) $>$ 0, dan bestaat er een interval
]m-delta,m+delta[ waarin f(x) $>$ 0 en waarin dus geen enkel punt van D gelegen is.Dit is in strijd met supD = m want supD zou dan kleiner zijn dan m.

Vraag : is dit een bewijstechniek op basis van contrapositie ?

definieer daarvoor volgende uitspraken :

p : m = supD en notp : m =/= supD
q : f(m) = 0 en notq : f(m) =/= 0

Te bewijzen : p -$>$ q via contrapositie notq -$>$ notp
aangezien (p -$>$ q) $\le$$>$ (notq -$>$ notp)
m.a.w
als f(m) =/= 0 dan m =/= supD
is equivalent met
als m = supD dan f(m) = 0

Met dank

Rudi

Rudi
3-11-2021

Antwoord

Ik zou het zelf eerder gevalsonderscheiding noemen, gepaard met het ongerijmde.

We weten dat één van de volgende drie mogelijkheden zich voordoet: $f(m)$<$0$, $f(m)=0$, of $f(m)$>$0$.
Het argument laat zien dat de eerste en de derde tot tegenspraak leiden, dus de tweede blijft over.

kphart
3-11-2021