WisFaq!

Re: Niet exacte differentiaalvergelijking

dag Klaas Pieter,
Die laatste regel zie ik niet goed waar je tot een oplossing komt. Oplossen naar PHI maar er staat ook phi(index(y)achter in de tweede term van het eerste lid.Een beetje hulp mag nog als het kan. En hoe bekom je de IF in het bovenste deel van je antwoord?
Groeten

Rik Lemmens
30-10-2021

Antwoord

De $\phi_y$ is de afgeleide van $\phi$ naar $y$; ik had in de voorgaande formule onze $M$ en $N$ ingevuld. Er had ook $\phi'$ of $\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}y}$ kunnen staan omdat $\phi$ alleen een functie van $y$ is verondersteld.

Alle $\phi$ naar rechts brengen geeft
$$y(y^2+1)\phi' = (y^2-1)\phi
$$of
$$\frac{\phi'}{\phi}=\frac{y^2-1}{y(y^2+1)}
$$de rechterkant kun je breuksplitsen als
$$\frac{2y}{y^2+1} -\frac1y
$$Links en rechts primitiveren:
$$\ln\phi=\ln(y^2+1)-\ln y +C =\ln\left(\frac{y^2+1}{y}\right)+C
$$Voor het gemak nemen we $C=0$ (want we hebben maar één $\phi$ nodig) en daar staat $\phi(y)=(y^2+1)/y$.

kphart
30-10-2021