WisFaq!

Niet exacte differentiaalvergelijking

Goedemiddag,
Volgende vergelijking en oplossing kan ik niet goed volgen.
(2-4xy²)dy=y(1+y²)dx.
De integratie factor zou zijn:(1+y²)²
Kan ik nu dit resultaat gebruiken als INT.factor en verder oplossen? Hoe komt men aan dit resultaat
Als ik schrijf,delend door 1+y²:
((2-4xy²)/(1+y²))dy=ydx
INT. factor:((1/(1+y²))
(=e^(It(1/(1+y²)(= e^bgtan(y)
En verder nu
Oplossing ( 1+y²)²x=2lnx +y²+C
Ik ondervind nog regelmatig moeilijkheden met deze D.V's van 1 ste graad ...Sorry.
Nog wat hulp graag
Groetjes

Rik Lemmens
28-10-2021

Antwoord

In ieder geval is de voorgestelde integrerende factor niet goed; ik heb $(1+y^2)/y$ gevonden.
Dat maakt van je gegeven vergelijkng
$$y(1+y^2)\,\mathrm{d}x+(4xy^2-2)\,\mathrm{d}y=0
$$de volgende exacte differentiaalvergelijking:
$$(1+y^2)^2\,\mathrm{d}x+(4xy-\tfrac 2y)(1+y^2)\,\mathrm{d}y=0
$$De oplossing die ik zo vind is dan
$$x(1+y^2)^2 -2\ln y-y^2=C
$$Zo'n integrerende factor vinden is meestal niet eenvoudig, algemeen vermenigvuldig je de vergelijking $M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y=0$ met een onbekende functie $\phi$. Als je dan de exactheidsvoorwaarde opstelt krijg je
$$M_y\phi+M\phi_y = N_x\phi+N\phi_x
$$wat ik geprobeerd heb is een phi nemen die alleen van $y$ afhangt (dan geldt $\phi_x=0$). Dan krijg je in dit geval
$$(1+3y^2)\phi+y(y^2+1)\phi_y = 4y^2\phi
$$en die heb ik naar $\phi$ op kunnen lossen.

kphart
28-10-2021