WisFaq!

Exacte differentiaalvergelijking oplossen

Goede avond,
Volgende differentiaalvergelijking uit curusus Differential equations van Frank Ayres:

((y²-(y)/(x²+xy)+2))dx+((1/(x+y)+2xy+2y))dy=0

Ik trachtte te bewijzen dat deze vgl exact is en bekwam
D(M)/D(y)= 2y-1/(x+y)²=D(N)/D(x) (met D voor partiëel afleiden). Maar verder kom ik niet.

Graag wat hulp want ik heb wat last pet partieel integreren en afleiden.
Vriendelijke groeten

Rik Lemmens
15-10-2021

Antwoord

De DV is dus
$$\left(y^2-\frac y{x(x+y)}+2\right)\mathrm{d}x+\left(\frac1{x+y}+2xy+2y\right)\mathrm{d}y
$$Het gedeelte $M$, bij $\mathrm{d}x$ dus, kun je omschrijven tot
$$y^2-\frac1x+\frac1{x+y}+2
$$Primitiveer $M$ met betrekking tot $x$, en $N$ met betrekking tot $y$. Dan zie je hoe de impliciete oplossing eruit moet zien.

kphart
15-10-2021