WisFaq!

Bepaling limiet via definities 8

1) Bewijs limiet van 1/(x+1) voor x-$>$(-10) = -1/9

Definitie : Voor elke e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodat 0 $<$ |x+10| $<$ d impliceert dat 0 $<$ |1/(x+1)+1/9| $<$ e

Zij e $>$ 0

We herschrijven dan eerst |1/(x+1)+1/9| als volgt :

|1/(x+1)+1/9| = |(9+x+1)/[9(x+1)] = 1/9.|x+10|/|x+1|

Vervolgens beperken we ons tot x-en kleiner dan -2

Uit x $<$ -2
volgt
x+2 $<$ 0
of
x+1+1 $<$ 0
of
x+1 $<$ -1
of
-(x+1) $>$ 1
of
|x+1| $>$ 1
of
1/|x+1| $<$ 1

zodat 1/9.|x+10|/|x+1| $<$ 1/9.|x+10|

Kies dan d = min{1,e}

Dan geldt er namelijk als 0 $<$ |x+10| $<$ d
dat x $<$ -9 $<$ -2 en |x+10| $<$ e
en dus |1/(x+1)+1/9| $<$ 1/9.|x+10| $<$ 1/9.e $<$ e

2) Bewijs limiet van 1/(x+1) voor x-$>$(-3/2) = -2

Definitie : Voor elke e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodat 0 $<$ |x+3/2| $<$ d impliceert dat 0 $<$ |1/(x+1)+2| $<$ e

Zij e $>$ 0

We herschrijven dan eerst |1/(x+1)+2| als volgt :

|1/(x+1)+2| = |(1+2x+2)/(x+1)| = 2.|x+3/2|/|x+1|

Vervolgens beperken we ons tot x-en kleiner dan -5/4

Uit x $<$ -5/4
volgt
x+5/4 $<$ 0
of
x+1+1/4 $<$ 0
of
x+1 $<$ -1/4
of
-(x+1) $>$ 1/4
of
|x+1| $>$ 1/4
of
1/|x+1| $<$ 4

zodat 2.|x+3/2|/|x+1| $<$ 8.|x+3/2|

Kies dan d = min{1/4,e/8}

Dan geldt er namelijk als 0 $<$ |x+3/2| $<$ d
dat x $<$ -5/4 en |x+3/2| $<$ e/8
en dus |1/(x+1)+2| $<$ 8.|x+3/2| $<$ 8.e/8 = e

Zijn deze beide bewijzen correct en duidelijk neergeschreven ?

Met dank,

Rudi

Rudi
17-9-2021

Antwoord

Het is allemaal correct maar het wordt tijd dat je realiseert dat je hier en daar dubbel werk doet: de bepalingen van de twee limieten zijn nagenoeg hetzelfde.

Je zou dus een willekeurige (maar vaste) $a\neq-1$ kunnen nemen en bewijzen dat
$$\lim_{x\to a}\frac1{x+1}=\frac1{a+1}
$$Om te beginnen
$$\frac1{x+1}-\frac1{a+1} = \frac{a-x}{(x+1)(a+1)}
$$Als we $x$ kleiner dan $\frac12(a-1)$ nemen (als $a<-1$) of groter dan $\frac12(a-1)$ als $a>-1$. Dan volgt $\left|\frac1{x+1}\right|<\left|\frac2{a+1}\right|$, en dus
$$\left|\frac1{x+1}-\frac1{a+1}\right| < \frac{2|x-a|}{(a+1)^2}
$$Dat is genoeg om bij elke $\varepsilon$ een geschikte $\delta$ te bepalen.

kphart
19-9-2021