WisFaq!

Bepaling limieten via definitie 6

1) Bewijs rechterlimiet √x voor (x$\to$0) = 0

Definitie : Voor iedere e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ x $<$ d
dit impliceert dat |√x-0| $<$ e

Kies e $>$ 0

Noteer f(x) = √x

dan domein van f = positieve reële getallen
en beeld van f = positieve reële getallen

|√x-0| = |√x| = √x

Om een geschikte d te vinden gebruiken we de ongelijkheid |√x-0| = √x $<$ e wat we via kwadratering verder kunnen herschrijven als x $<$ e²

Kies dan d = e² zodanig dat
als 0 $<$ x $<$ d dit impliceert dat |√x-0| $<$ e

2) Stel a een positief reëel getal groter dan 0
Bewijs limiet√x voor (x$\to$a) = √a

Definitie : Voor iedere e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ |x-a| $<$ d dit
impliceert dat |√x-√a| $<$ e

Kies e $>$ 0

Noteer f(x) = √x

met domein van f = positieve reële getallen
en beeld van f = positieve reële getallen

Onderstel dat we alle x-en groter dan 0 nemen

Vervolgens gaan we |√x-√a| herleiden door deze uitdrukking te vermenigvuldigen met
(√x+√a)/(√x+√a) = 1

|√x-√a| =
{|√x-√a|.(√x+√a)}
/(√x+√a)

Aangezien √x+√a $>$ 0 mag je schrijven (√x+√a) = |√x+√a|

|√x-√a| =
{|√x-√a|.|√x+√a|}
/(√x+√a)

of

|√x-√a| =
{|(√x-√a).(√x+√a)|}
/(√x+√a)

of

|√x-√a| =
|x-a|/(√x+√a)

Er geldt tevens (√x+√a) $>$ √a
zodat 1/(√x+√a) $<$ 1/√a

dan

|√x-√a| $<$ |x-a|/√a

Om een geschikte d te vinden gebruiken we de ongelijkheid
|√x-√a| $<$ |x-a|/√a $<$ e

Uit |x-a|/√a $<$ e volgt |x-a| $<$ √a.e

Kies dan d = √a.e $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ |x-a| $<$ d
dit impliceert dat |√x-√a| $<$ e

Zijn beide redeneringen correct en zijn de diverse stappen voldoende duidelijk neergeschreven ?

Met dank !

Rudi

Rudi
14-9-2021

Antwoord

Over het algemeen ziet het er goed uit, alleen de woordkeus is hier en daar niet goed.

"Kies $\varepsilon > 0$": hier is "kies" niet het goede woord, het suggereert dat wij invloed hebben op de grootte van $\varepsilon$ en die hebben we niet. We stellen ons passiever op: "Laat $\varepsilon > 0$ gegeven zijn", of "Zij $\varepsilon >0$".

"Noteer $f(x)=\sqrt x$": dit heeft geen functe want die $f(x)$ zie ik verder niet meer.

"Kies dan $\delta \dots$ zodanig dat $\dots$": het "zodanig dat" heeft onder wiskundigen de functie dat het een nadere specificatie aankondigt en alle betekenissen in Van Dale wijzen ook in die richting. Gebruik het niet in de betekenis van "met als gevolg dat". Gebruik liever iets als "dan geldt dat".

Hoe ik het op zou schrijven.

Laat $a > 0$, in het algemeen geldt voor $x\ge0$ het volgende
$$|\sqrt x-\sqrt a| = \frac{|x-a|}{\sqrt x+\sqrt a} \le \frac1{\sqrt a}|x-a|
$$Zij nu $\varepsilon > 0$, neem dan $\delta=\varepsilon\cdot\sqrt a$. Dan geldt voor $x\ge 0$ met $|x-a|<\delta$ dat
$$|\sqrt x-\sqrt a| <\frac1{\sqrt a}\cdot\varepsilon\cdot\sqrt a=\varepsilon.
$$

kphart
14-9-2021