WisFaq!

Gebroken vergelijking met factorstelling

Beste Wiskunde Koning en Koninginnen,

Ik ga van het MBO naar het HBO en ben druk bezig met wiskunde verbeteren. Echter loop ik vast met het oplossen van een gebroken vergelijking met de factorstelling..

De opgave is :

a3+8·a2+11·a-20
----------------- = 0
      a-1 

Nu kan ik met de factorstelling deze vergelijking oplossen..

Het gaat dan als volgt

(a-1)·(a²+p·a+q) = a³+8·a²+11·a-20

nu heb ik waarschijnlijk een domme vraag maar ik begrijp niet waar de (a²+p·a+q) vandaan komt.

De formule van de factorstelling is p(x)=(x-a)·(...)

De vraag is dus eigenlijk waar ze de (....) vandaan halen en hoe ze deze invullen..

Ik hoor het graag!

Melvin van der Vegt
24-8-2021

Antwoord

Hallo Melvin,

Als je op de een of andere manier hebt gevonden dat a³+8a²+11a-20 gelijk wordt aan nul voor a=1, dan zegt de factorstelling dat je de factor (a-1) buiten haakjes kunt halen. Binnen haakjes blijft dan een kwadratische formule over. De algemene vorm van die kwadratische formule is:

a²+pa+q

De kunst is nu om de juiste waarden voor p en q te vinden. Dit doe je door de haakjes weer weg te werken, en het resultaat gelijk te stellen aan je oorspronkelijke derdegraads-formule. Ofwel, er moet gelden:

(a-1)(a²+pa+q)=a³+8a²+11a-20

Haakjes wegwerken levert:

a³-a²+pa²-pa+qa-q=a³+8a²+11a-20

Beetje sorteren:

a³ + (p-1)a² + (q-p)a - q = a³+8a²+11a-20

Alle coëfficiënten moeten kloppen, dus:

p-1=8
q-p=11
q=20

Uit de eerste vergelijking volgt: p=9. Met q=20 levert dit:

a³+8a²+11a-20=(a-1)(a²+9a+20)

Het laatste deel kan je opnieuw ontbinden, hiermee wordt dit:

a³+8a²+11a-20=(a-1)(a+4)(a+5)

De teller van je oorspronkelijke breuk wordt nul voor a=1, a=-4 en a=-5. Echter, voor a=1 wordt de noemer ook nul, dan is de breuk niet gedefinieerd. Oplossingen zijn dus a=-4 en a=-5.

GHvD
24-8-2021