WisFaq!

Complexe machtsfuncties

Ik had een vraag over opdracht 21c, hoofstuk 16, van getal en ruimte deel 11 Wiskunde D. Hier vraagt het boek bij de formule f(z)=z³ welk getal op de lijn Re(z)=1 als beeld hetzelfde punt op de reele as heeft. Ik snap niet hoe ik dit moet aanpakken, de uitwerkingen vermelden dat deze punten een argument moeten hebben van 1/3$\pi$ of -1/3$\pi$. Maar dat snap ik niet helemaal.

Berke
18-8-2021

Antwoord

Als machtsverheft gebeuren er twee dingen: je neem de derde macht van de modulus en het drievoud van het argument.
Voor punten op de reële as heeft het argument twee mogelijkheden: $0$ (plus veelvouden van $2\pi$) voor positieve getallen en $\pi$ (plus veelvouden van $2\pi$) voor negatieve getallen.

Dus als $z^3$ reëel is geldt $3\operatorname{Arg} z=0+2k\pi$ of $3\operatorname{Arg} z=\pi+2k\pi$; voor $z$ met $\operatorname{Re} z=1$ geldt dat $\operatorname{Arg}$ tussen $-\frac12\pi$ en $\frac12\pi$ ligt dus de mogelijkheden voor $3\operatorname{Arg} z$ die overblijven zijn $-\pi$, $0$, en $\pi$, dus voor $\operatorname{Arg} z$ houden we $-\frac13\pi$, $0$, en $\frac13\pi$ over.

Bij $0$ krijgt je $z=1$ met $z^3=1$, met $\pm\frac13\pi$ krijg je $z_{1,2}=1\pm i\sqrt3$, met $z_1^3=z_2^3=-8$.

kphart
18-8-2021