WisFaq!

Opgave uit boek

Hoi hoi!

Ik heb moeite met het begrijpen van een opgave + zijn "uitwerkingen". De vraag luidt:

Neem een set vectoren S = {v1 v2 v3, ... vn} in beschouwing die vectorruimte V opspant. Laat w een vector in V zijn maar niet in de set S. Bewijs dat {v1, v2, v3, ..., vn, w} ruimte V opspant maar lineair afhankelijk is.

Te bewijzen; {v1, v2, v3 .. vn, w} spant V op maar is lineair afhankelijk gegeven dat {v1, v2, v3, ... , vn} V opspant.

k1v1 + k2v2 + k3v3 + ... + knvn = w ofwel k1v1 + k2v2+ k3v3 + knvn - w is lineair afhankelijk want -(1) is een scalair getal. Maar... hoe bewijs ik nu dat {v1, v2, v3 ... vn, w) opspant?

In de uitwerkingen zeggen ze het volgende: Neem een vector u in beschouwing in V. Omdat gegeven is dat {v1, v2, v3, ... , vn} V opspant kunnen we schrijven dat u = k1v1 + k2v2 + k3v3 + knvn = k1v1 + k2v2+ k3v3 + knvn + (0)w. Conclusie {v1, v2, v3 .. vn, w} spant ook V op.

Ik begrijp hier helemaal niets van. Die (0) is 0 maar w dus dat is 0. Waarom spant zij dan mee de vectorruimte op? Er is een set vectoren die een vectorruimte V opspant. Als w niet in deze set zit, dan wordt hij geproduceerd door de set S {v1, v2, v3 ... vn}. Daarmee is de set niet meer lineair onafhankelijk. Als dat zo is... dan is w toch helemaal niet nodig in de set? Dat mag je het toch helemaal geen "span" noemen?

Ik zal de opgave per email sturen + de uitwerkingen. Het gaat dan om opgave 13. Ik kijk erg uit naar uw antwoord.

Vriendelijk groet,
Stijn

Stijn
23-7-2021

Antwoord

Er wordt niet meer gedaan dan de definities letterlijk toe te passen.
"De verzameling $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ spant de ruimte $V$ op" betekent niets minder, maar ook niet meer dan: voor elke vector $v\in V$ zijn er getallen $k_1$, $k_2$, $\dots$, $k_n$ zo dat $v=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n$.
Dan spant het stelsel $\{v_1,v_2,\ldots,v_n,w\}$ ook op: dat we iedere keer $0w$ nemen doet daar niets aan af: we kunnen voor elke $v\in V$ getallen $k_1$, $k_2$, $\dots$, $k_n$, $k_{n+1}$ vinden met $v=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n+k_{n+1}w$.
Inderdaad, $w$ helpt eigenlijk niet mee maar de definitie zegt niet dat elke vector ook echt mee moet werken.

kphart
24-7-2021