WisFaq!

Zwaartelijnen in driehoek

Geachte heer, in een puzzelboek heb ik het volgende vraagstuk gezien en het lukt me niet om het wiskundig op te lossen.

In driehoek ABC zijn AA' en BB' zwaartelijnen, die elkaar snijden in punt X. B' ligt dus op de helft van AC. Stel dat B' zodanig verplaatst wordt dat de verhouding CB': BÁ = 2 : 1 Hoe zal dan AA' verdeeld worden door BB' ( snijpunt AA' met BB' is Y ) De oplossing werd gegeven maar was niet wiskundig. Y zou de helft zijn van AA'. Graag Uw eventuele ( ( wiskundige ) oplossing, indien mogelijk. Bij voorbaat dank.

J.Vriens
12-7-2021

Antwoord

Dit kan met barycentrische coördinaten.
Elk punt, $x$, in de driehoek kan op één manier geschreven worden als $\lambda a+\mu b+\nu c$, waarbij $\lambda+\mu+\nu=1$ moet gelden.
Na het schuiven geldt $b'=\frac23a+\frac13c$, en $a'=\frac12b+\frac12c$. Een willekeurig punt op $AA'$ is te schrijven als $(1-t)a+\frac t2b+\frac t2c$ en op $BB'$ krijgen we $(1-s)b+\frac{2s}3a+\frac s3c$.
De drie gelijkheden $1-t=\frac{2s}3$, $\frac t2=1-s$ en $\frac t2=\frac s3$ leiden tot $t=\frac12$ en $s=\frac34$. Omdat $t=\frac12$ is $Y$ inderdaad het midden van $AA'$.

kphart
12-7-2021