WisFaq!

Differentiaalvergelijking met complexe wortels

Goede morgen,
Ik bestudeer wat theorie over differentiaalvergelijkingen met complexe wortels en er is iets dat ik niet goed begrijp.

Ik geef hier een theoretische beschouwing over de oplossing van deze vergelijking.

r(1)= m+in en r(2)=m-in met m en n reële getallen

De oplossing van de DV is:
y(1)=e^r(1)x en y(2)=e^r(2)x
of :
y(1) =e^(m+in)x en y(2)= e^(m-in)x
Invoer 2 bekende formules:
e^(îax)= cos(x)+isin(ax) en e^(-iax)= cos(ax)-isin(ax)

We bekomen nu :
y(1)=e^(m+in)x=e^mx(cos(ax)+isin(ax) (1)
y(2)=e^(m-in)x=e^mx(cos(ax)-isin(ax) (2)
Optellen van deze twee waarden geeft:
y(x)= (1)+(2)= C(1)e^mx(cos(nx)+C(2)e^mx( isin(nx) ^(?)

En daar zit mijn probleem. Rare overgang voor mij.

Hoe komt men tot deze oplossing? Men zegt er wel bij een beetje goniometrie te gebruiken om tot die oplossing te komen.

Vriendelijke groeten en nog fijne dagen in deze verlofperiode.

Rik Lemmens
1-7-2021

Antwoord

In (1) en (2) moet je $a$ wel een $n$ zijn (schrijffoutje), maar in het kort: de differentiaalvergelijking is kennelijk lineair en homogeen.
Dus $\frac12(y_1+y_2)$ is ook een oplossing, en dat geeft de oplossing $e^{mx}\cos nx$; op dezelfde manier neem je $\frac1{2i}(y_1-y_2)$ en dat geeft on $e^{mx}\sin nx$.
De totale oplossing bestaat uit alle lineaire combinaties van die twee.

Wellicht bedoelde de oplosser het volgende: begin met de algemene lineaire combinatie $d_1y_1+d_2$ en werk die uit:
$$(d_1+d+2)e^{mx}\cos nx + (id_1-id_2)e^{mx}\sin nx
$$Geef de constanten andere namen: $c_1=d_1+d_2$ en $c_2=i(d_1-d_2)$.

kphart
1-7-2021