WisFaq!

Integreren breuk onder wortelteken

Goede morgen,
Ik zoek al even naar een passende substitutie en vermoed ik dat hier partiële integratie moet worden toegepast.
Integraal I={√(1-x)dx:√(1+x).
Het resultaat zou moeten zijn:
√(1-x²-2arcsin(√(1-x):√2+C.
Ik had de noemer al wortelvrij gemaakt maar ik geraak er niet uit.
Graag een of meer tips als het even kan .
Nog een fijne dag .
Rik

Rik Lemmens
14-5-2021

Antwoord

Het antwoord klopt inderdaad (differentieer het) maar het is nogal een gedoe. Je kunt tot dat antwoord komen door $1+x$ te schrijven als $2-(1-x) = 2-\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)^2$.
Je vindt dan
$$\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)^2}}
$$dat suggereert de substitutie $u=\sqrt{1-x}$ (en dus $x=1-u^2$); dat geeft dan
$$\int\frac{u}{\sqrt{2-u^2}}\cdot-2u\,\mathrm{d}u
$$Daar is met wat moeite het antwoord wel uit te halen.

Iets eenvoudiger: vermenigvuldig teller en noemer met $\sqrt{1-x}$, het resultaat is
$$\int\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=
\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x
$$en die is een stuk makkelijker.

kphart
14-5-2021