WisFaq!

Re: Integreren goniometrische veelterm

Goede morgen, Klaas Pieter,
Ik stuurde een plaatje met de gedeeltelijke uitwerking van de hier geciteerde integraal van de gebroken goniometrische veeltermbreuk ,omgezet naar de "u" functie
x/2= Bgtan(u)of x=2bgtan(u) en de uitdrukkingen voor sinus en sinus ingevuld volgens uw reactie op mijn vraag.
Ik ben gekomen tot een gebroken veelterm waarvan he noemer geen wortels zou hebben.
Ik deed een poging om de functie om te zetten via partiële breuken. Maar verder kom ik niet ...
Integraal is toch een "zwaar "geval, vind ik. Er komt heel wat bij kijken.
Graag nog wat hulp want is blijkbaar nodig .
Dank voor je tijd ! en groetjes
Nog een fijne dag

Rik Lemmens
8-5-2021

Antwoord

Het plaatje zat niet bij de post. Maar hier zijn de saillante punten om mee te vergelijken. Na substitutie van $u=\tan\frac x2$ en netjes uitwerken krijg je de integraal
$$\int \!{\frac {2\,{u}^{4}-4\,{u}^{3}+20\,{u}^{2}-4\,u+10}{ \left( {u}^{2}+3 \right) ^{2} \left( {u}^{2}+1 \right) }}
\,\mathrm{d}u
$$Na breuksplitsing wordt dit
$$\int \!{\frac {-4\,u+16}{ \left( {u}^{2}+3 \right) ^{2}}}+\frac4{{u}^{2}+3}-\frac2{u^2+1}\,\mathrm{d}u
$$Een primitieve is dan
$${\frac {8\,u+6}{3\,{u}^{2}+9}}+{\frac {20\,\sqrt {3}}{9}\arctan \left( {\frac {u\sqrt {3}}{3}} \right) }-2\,\arctan
\left( u \right)
$$

kphart
8-5-2021