WisFaq!

Re: Goniometrische integraal

Goede dag,Klaas Pieter,

Ik heb , na wat moeite de juiste(hoop ik toch...) oplossing gevonden van de hierboven gestelde integraal
I= (cotgx-cosex)²/sin²x
I= (cosx-1)²/(sin²^x)²
I= (1-cosx)²/1-cos²x)²
I= (1-cosx)²/(1-cosx)²(1+cosx)²
I= dx/1+cosx)²
I= dx/(cos²x/2)²
I= 1/4(dx/sec^4(x/2)
I= 1/4(cos^4(x/2)dx
I= 1/16(1+cosx)²
I= 1/16)(1+2cosx+cos²x)dx
I= (1/16){dx+2cosxdx++1/2)1+cos2x)dx
oplossing I:
=(1/16)x+(1/8) sinx+1/32x+1/64sin2x
=(3/32)x+(1/8)sinx+(1/64)sin2x
=3x/32+sinx/8+(sinx.cosx)/32+C
Ik hoop dat alles correct is berekend .
Dank voor je tijd en nog een fijne dag
Rik

Rik Lemmens
30-4-2021

Antwoord

Het gaat mis bij de overgangen van regels 5, 6, en 7:

1. $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$; in regel 6 ontbreekt dus een factor $4$ in de noemer

2. Bij overgang van 6 naar 7 maak je van $\cos \frac x2$ ineens $\sec\frac x2$ (en is de factor $4$ er weer)

Het resultaat is dat je claimt dat $\frac1{(1+\cos x)^2}$ (regel 5) gelijk is aan $\frac1{16}(1+\cos x)^2$ (regel 9). Dat lijkt me niet correct.

Ik heb het volgende bedacht: de te integreren functie wordt
$$\frac{(\cos x -1)^2}{\sin^4x}
$$van de teller maken we $1+\cos^2x-2\cos x = \sin^2x+2\cos^2x-2\cos x$; dan houden we dit probleem over:
$$\int \frac1{\sin^2x}\,\mathrm{d}x +\int2\operatorname{cotan}^2x\cdot\frac1{\sin^2x}\,\mathrm{d}x -\int\frac2{\sin^4x}\cos x\,\mathrm{d}x
$$Elk van die drie is bekend of te doen met een substitutie.

kphart
30-4-2021