WisFaq!

Re: Moeilijke integraal

Hallo Klaas Pieter,
Heb je mijn plaatje ontvangen( gezonden naar (plaatjes@wisfaq.nl) met de oplossing zoals ik ze heb uitgewerkt ?.Deze oplossing vond ik met gebruik van de gewone goniometrische formules. En die oplossing zou zijn (na 2x= u en dx=(1/2)dt te stellen):

1/64{(4x-(sin(4x))/2)-(sin(8x))/2+(sin(12x))/6 +C)}.
Mag ik , na wat rekenen aangaande uw voorgestelde oplossing toch vragen mij verder een beetje te helpen met de DOOR U voorgestelde oplossing. Ik ben mee tot op de laatste. Met ik dan voor n eerst 6 invullen en dan 4 en daarna 2 om er uit te geraken ?
Goede nacht en sorry voor het storen zo laat op de avond .
RIk

Rik Lemmens
26-4-2021

Antwoord

De uitwerking van mijn methode gaat inderdaad stap voor stap.
DE algemene formule is
$$\int\sin^nu\,du=-\frac1n\sin^{n-1}u\,\cos u+\frac{n-1}n\int\sin^{n-2}u\,du
$$Afgezien van de halfjes gaat het om $\int\sin^4u\,du -\int\sin^6u\,du$; door $n=6$ in te vullen maken we daar
$$\frac16\sin^5u\,\cos u +\frac16\int\sin^4u\,du
$$van; dan $n=4$ gebruiken:
$$\frac16\sin^5u\,\cos u +\frac16\left(-\frac14\sin^3u\,\cos u+\frac34\int\sin^2u\,du\right)
$$ofwel
$$\frac16\sin^5u\,\cos u -\frac1{24}\sin^3u\,\cos u+\frac18\int\sin^2u\,du
$$en dan $n=2$:
$$\frac16\sin^5u\,\cos u -\frac1{24}\sin^3u\,\cos u-\frac1{16}\sin u\,\cos u +\frac1{16}u +C
$$De hoekverdubbeling van je PDF is correct.
Voor de andere lezers: van $\sin^4u\,\cos^2u$ kunnen we $\sin^2u(\sin u\,\cos u)^2=\frac14\sin^2u\,\sin^22u$ maken.
Met hoekverdubbeling wordt dat
$$\frac14\left(\frac12-\frac12\cos 2u\right)\left(\frac12-\frac12\cos4u\right)
$$na uitvermenigvuldigen:
$$\frac1{16}(1-\cos2u-\cos4u+\cos2u\,\cos4u)
$$en van $\cos2u\,\cos4u$ maken we $\frac12(\cos2u+\cos 6u)$ en dan is
$$\frac1{32}(2-\cos2u-2\cos4u+\cos6u)
$$verder eenvoudig te primitiveren tot
$$\frac1{16}u - \frac1{64}\sin2u-\frac1{64}\sin4u+\frac1{192}\sin6u +C
$$

kphart
27-4-2021