WisFaq!

Partiële afgeleide van hogere orde

Veronderstel dat f: R³$\to$R een functie is die continue partiële afgeleiden heeft van minstens tot de tweede orde. Beschouw nu de functie:

g: R²$\to$R:(x,y)$\to$g(x,y) = f(x²y, x+y, x·e³y).

Argumenteer dat g continue partiële afgeleiden heeft van minstens tot de tweede orde. Bereken ook de tweede orde partiële afgeleiden van g in termen van de partiële afgeleiden van f.

Ik heb wat moeite met deze afgeleiden te berekenen. De eerste en tweede afgeleide berekenen van de eerste orde lukt me wel, maar van de eerste orde naar tweede orde overgaan vind ik heel moeilijk. Zou iemand misschien een bewerking met wat uitleg hiervan willen geven zodat ik verder kan?

Alvast bedankt voor de hulp!

Jade Lemoine
14-4-2021

Antwoord

Het is wat werk maar je moet op het resultaat van $\frac\partial{\partial x}g(x,y)$ bij differentiëren naar $x$ (en $y$) de productregel toepassen op de drie termen, bijvoorbeeld op $D_1f(x^2y,x+y,xe^3y)\cdot 2xy$:
$$\frac\partial{\partial x}D_1f(x^2y,x+y,xe^3y)\cdot 2xy + D_1f(x^2y,x+y,xe^3y)\cdot \frac\partial{\partial x}2xy
$$en
$$\frac\partial{\partial x}D_1f(x^2y,x+y,xe^3y)
$$gaat net als $\frac\partial{\partial x}f(x^2y,x+y,xe^3y)$.

kphart
15-4-2021