WisFaq!

Enquete

In een enquête van een instituut werden 1006 aselect gekozen volwassenen de vraag gesteld wat volgens hen het ideale aantal kinderen in een gezin is. Bijna de helft van de respondenten, 49%, noemde 2 kinderen ideaal. Neem aan dat p = 0,49 voor deze populatie van volwassenen de exacte waarde is.

Het instituut gaf voor deze enquete een foutenmarge van +-3% aan. Hoe groot is de kans dat de steekproefproportie $\widehat p$ voor een EAS met n = 1006 ligt tussen 0,46 en 0,52 (Binnen het 3 procentpunt van de echte p?)

De uitkomst zou 94,26% zijn. ik heb gevonden (als het juist is) $\widehat p$-N(0,49 ; 0,0004969)

Alleen weet ik niet hoe ik dit moet uitrekenen door de 3% waarmee ik (mogelijks) rekening mee moet houden.

elke
3-4-2021

Antwoord

Hallo Elke,

Wanneer je uit een populatie met populatieproportie p steekproeven trekt met lengte n, dan zullen steekproefproporties $\widehat p$ normaal verdeeld zijn met als gemiddelde waarde $\mu$=p en standaardafwijking $\sigma$=√(p(1-p)/n) (zie ook gemiddelde en standaardafwijking van een proportie.

In dit geval dus:

$\widehat p$_gemiddeld = 0,49
$\sigma$ = √(0,49(1-0,49)/1006) = 0,01576

De vraag is dus: hoe groot is de kans dat een waarneming van een normaal verdeelde variabele met $\mu$=0,49 en $\sigma$=0,01576 ligt tussen 0,46 en 0,52?

Je kunt dit berekenen met behulp van je grafische rekenmachine, een tabel of met dit hulpje:
Vul in de hokjes links onder de waarden 0.46 en 0.52 in, klik op de pijl naar rechts voor het resultaat.

Ik vind als kans 0,9430 ofwel 94,30%. Het verschil met het modelantwoord zal wel komen door eventuele afronding tussendoor.

Doorgaans wordt gerekend met een 95% betrouwbaarheidsinterval, dat wil zeggen: je wilt met 95% betrouwbaarheid kunnen zeggen dat je, uitgaande van het steekproefresutaat, kunt concluderen dat de populatieproportie binnen dit interval ligt. In dit geval wordt 95% net niet gehaald. Bij deze enquête is de foutenmarge dus iets groter dan 3 procentpunt.

Opmerking:
In de praktijk is de werkelijke populatieproportie p niet bekend, deze wil je juist te weten komen met de enquête. Doorgaans wordt dan de steekproefproportie $\widehat p$ genomen. Immers, bij een goede steekproef is dit een goede schatting van de werkelijke populatieproportie p. Een klein verschil tussen p en $\widehat p$ heeft weinig invloed op de uitkomst van de berekeningen.

Wanneer niets bekend is over p en men heeft toch een waarde nodig (bijvoorbeeld om vooraf een steekproefomvang n te bepalen die minimaal nodig is om een zekere betrouwbaarheid te kunnen behalen), dan schat men p=0,5. Dit is de meest ongunstige schatting, want deze levert de grootste waarde voor de standaardafwijking, en dus de grootste waarde voor n om de vereiste betrouwbaarheid te behalen. Het uiteindelijke resultaat kan dan alleen maar meevallen.

GHvD
3-4-2021