WisFaq!

Examenvraag VWO met cos en sin

Zou u misschien vraag 8 en 9 kunnen uitwerken van het VWO eindexamen 2015 tijdvak 2 wiskunde B?

• Opgaven
• Correctievoorschrift

myrthe
20-3-2021

Antwoord

Het gaat vooral om
$$y(t)=-5t^2+20t\cos\alpha\sqrt{\sin\alpha}+4\sin\alpha+2
$$De grafiek is een parabool, dus de top kun je bepalen met kwadraat afsplitsen, haal $5$ buiten de haakjes in de eerste termen:
$$-5(t^2-4t\cos\alpha\sqrt{\sin\alpha})+4\sin\alpha+2
$$en maak er dit van:
$$-5\bigl((t-2t\cos\alpha\sqrt{\sin\alpha})^2-4\cos^2\alpha\sin\alpha\bigr)+4\sin\alpha+2
$$uitwerken:
$$-5(t-2t\cos\alpha\sqrt{\sin\alpha})^2+20\cos^2\alpha\sin\alpha+4\sin\alpha+2
$$en de maximale waarde hiervan is
$$20\cos^2\alpha\sin\alpha+4\sin\alpha+2=24\sin\alpha-20\sin^3\alpha+2
$$Voor opgave 9 moet je het bepalen voor welke $\alpha$ de uitdrukking $24\sin\alpha-20\sin^3\alpha+2$ maximaal is; voor het antwoord hoef je alleen te weten wat $\sin\alpha$ en $\cos\alpha$ zijn.

Bepaal dus de $u$ waarvoor $2+24u-20u^3$ maximaal is (met $0\le u\le1$). De afgeleide is $24-60u^2$ en die is nul als $u^2=\frac25$. Voor $u=\sqrt{\frac25}$ heb je het maximum (kijk naar het tekenschema).
Dus $\sin\alpha=\sqrt{\frac25}$, en $\cos\alpha=\sqrt{\frac35}$.
Je vindt
$$y(t)=-5t^2+20t\sqrt{\frac35}\sqrt{\sqrt{\frac25}}+4\sqrt{\frac25}+2
$$Nu die wortels in je rekenmachientje stoppen.

kphart
20-3-2021