WisFaq!

Gelijkheid

Toon aan dat voor alle a, b, c van de positieve getallen uitgezonderd 0 geldt dat: a/bc + b/ca + c/ab groter of gelijk is aan 2/a + 2/b - 2/c. Voor welke waarden van a,b,c treedt de gelijkheid op?

kiara
8-3-2021

Antwoord

Merk op dat zowel a als b als c positief zijn en dus ook niet 0 mogen zijn.

Nu breng alles onder de noemer abc en kijk naar de tellers links en rechts.
De noemer (abc) kunnen we verder vergeten omdat alle getallen $>$ 0 zijn (gegeven), die noemer wordt dus niet negatief waardoor het teken zou kunnen omklappen.

Te bewijzen a²+b²+c² $\ge$ 2bc + 2ac - 2ab.
Alles naar links brengen levert op
a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc $\ge$ 0

En nu moet je even doorhebben dat links een kwadratische vorm van drie termen (zelf ook even uitschrijven) staat die te schrijven is als:

(a+b-c)² $\ge$ 0 En dat is natuurlijk altijd waar.

Hopelijk ben ik onderweg geen minnetje verloren, maar dit is het principe. Die andere vraag moet je nu zelf kunnen beantwoorden.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
9-3-2021