WisFaq!

Cirkel en raaklijn

Goede middag,
Ik heb een cirkelC: x²+y²=169 en een rechte S: 12x-5y=60 (waarvan de richtingscoëfficiënt =12/5 is) .
Men vraagt het punt van de kromme waar de raaklijn evenwijdig is aan de gegeven rechte .
Ik benader de zaak een beetje met de afgeleide
y'= -x/√(25-x²)
Ik stel die afgeleide gelijk aan de
gegeven richtingscoëfficiënt=12/5 en bekom
-x/√(25-x²)=12/5
-5x=(√(25-x²).12 Met -5x$>$0 mag ik kwadrateren
25x²=25.144-144x² kwadrateren voorwaarde is :
-5x$>$0 en kwadrateren toegelaten in beide leden (tweede lid 25-x²is positief.
Ik reken verder
25x²= (25-x²/144
25x²=3600-144x²
169x²=3600
x²=3600/169
x(1)=60/13 ;
y(1)= √265/13
de tweede coördinaat is dezelfde maar voorzien van een minteken.
Is deze werkwijze correct of niet ?
Groeten

Rik Lemmens
28-2-2021

Antwoord

Niet geheel.
Die $25$ in de wortel moet $169$ zijn, lijkt me.
Als je je antwoord $(x(1),y(1))$ invult zul je zien dat je een negatieve waarde van $y'$ krijgt; heb je ook $x(1)^2+y(1)^2$ bepaald, ter controle?

Het kan ook iets meer meetkundig: in een cirkel staat de raaklijn loodrecht op de verbindingslijn met het middelpunt. Je zoekt dus punten op de cirkel waar de plaatsvector loodrecht op de gegeven lijn staat, of parallel is aan de normaalvector van die lijn.
En een vector loodrecht op de lijn is bijvoorbeeld $\binom{12}{-5}$; bepaal dus veelvouden van die vector die op de cirkel liggen.

kphart
28-2-2021