WisFaq!

Afgeleiden en raaklijn

Goedemorgen,

Gegeven is f(x)=1/x. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kromme, in het punt met abscis a.

Bepaal het snijpunt van de raaklijn met de x-as en leid er een methode uit af voor de constructie van de raaklijn in een bepaald punt.

Ik werkte als volgt:

f(x)=y
y=1/x
y'=-1/x²
x(1)=a en y(1)=1/a
rico raaklijn = -1/a²
Raaklijn wordt dan :
y-1/a=-1/a²(x-a)

Raaklijn aan de kromme is:
y=(-1/a²)x+2/a

Snijpunt x-as maakt er een stelsel van met :
{y=(-1/a²)x+2/a)} (1)
{y=0 snijpunt x-as(2)
dus= (2) in (1) geeft :
snijpunt x as is P(2a,0) en het snijpunt met de y-as, voor zover nodig) is dan Q=(0,2/a) .
En wat nu met de constructie van die raaklijn in een bepaald punt.

Neem ik a=1 dan krijgen we voor
T: y-1/a=-1/a²(x-a)
y met a=1 is dan

Raaklijn in een punt, is dan
y-1=-(x-1)
y=-x+2

Ik kan dus een raaklijn tekenen aan de kromme in het raakpunt met coördinaat in het punt (1,1) Wat is nu verder nog de bedoeling?

Groetjes

Rik Lemmens
26-2-2021

Antwoord

Wat je hebt laten zien is dat de raaklijn in $(a,\frac1a)$ gelijk is een de verbindingslijn van $(a,\frac1a)$ en $(2a,0)$. en die tweede kun je, gegeven het punt~$(a,\frac1a)$, met passer en liniaal construeren.
1. maak de loodrechte projectie op de $x$-as, dat geeft $(a,0)$.
2. Verdubbel het lijnstuk van $(0,0)$ naar $(a,0)$, dat geeft $(2a,0)$.
3. Trek de verbindingslijn.

kphart
26-2-2021