WisFaq!

Aantal priemgetallen

Geachte,

Een opdracht is opgebouwd uit twee vragen a en b. Vraag (a) lukte mij helaas niet om aan te tonen. Kan iemand hiermee graag helpen?

Bij vraag (b) heb ik betantwoord, maar weet ik niet of mijn antwoordt goed?

Opdracht:
(a) Toon aan dat voor een willekeurig getal in {10, 11, . . . , 100} geldt dat het een priemgetal is precies dan als het niet deelbaar is door 2, 3, 5 of 7.

(b) Maak gebruik van onderdeel (a) en inclusie-exclusie om het aantal priemgetallen onder de 100 te bepalen. (Gewoon tellen is verboden!).
============================

Antwoord: (a): lukt mij helaas niet.

Antwoord: (b):

(b):
Er zijn 25 priemgetallen onder de 100, en precies 21 getallen tussen de 10 en 100 want tussen 1 en 10 zijn 4 priemgetallen. Dit zijn 2,3,5 en 7.

Neem voor A de tweevouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/2 = 45.
Neem voor B de drievouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/3 = 30.
Neem voor C de vijfvouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/5 = 18.
Neem voor D de zevenvouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/7 = 12.

Nu zijn de 2•3 , 2•5, 2•7, 3•5, 3•7, 5•7 -vouden dubbel meegeteld. En ook daarna zijn de 2•3•5, 2•3•7, 2•5•7, 3•5•7-vouden weer dubbel geteld

Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 onder de 100 is gelijk aan:
90 - {90/2 + 90/3 + 90/5 + 90/7} + { 90/6 + 90/10 + 90/14 + 90/15 + 90/21 + 90/35} - { 90/(2.3.5) + 90/(2.3.7) + 90/(3.5.7) + 90/(2.5.7)} + {90/(2.3.5.7)} =
90 - { 45+30+18+12} + {15+9+6+6+4+2} -{3+2+0+1} + {0}=
90 - 105 + 42 - 6 = 21.

Er zijn dus 21 getallen onder de 100 die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 zijn.

Graag uw hulp hiermee. Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,
Mi

Mi
25-2-2021

Antwoord

(a) stel $n=a\cdot b$ met $a,b < n$; kan het zijn dat $a$ en $b$ allebei groter zijn dan $10$?

(b) bijna goed, er zitten $91$ getallen in $\{10,11,\ldots,100\}$

kphart
25-2-2021