WisFaq!

Aantal manieren

Geachte,

Ik ben bezig met oefeningen. Ik zit vast bij deze oefening:

In een studentenraad van 16 personen zitten wiskunde- en informaticastudenten, zowel eerste- als ouderejaars. Elke groepering heeft vier vertegenwoordigers in de raad. De studentenraad benoemt een commissie uit haar midden, bestaande uit 6 personen.

1. Op hoeveel manieren is dit mogelijk als er van elke groepering tenminste 殚n vertegenwoordiger in de commissie zitting moet hebben?
2. Op hoeveel manieren is dit mogelijk als er van elke groepering ten hoogste twee vertegenwoordigers in de commissie zitting mogen hebben?

Kan iemand mee hiermee helpen om te begrijpen want ik zit totaal vast. Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,
Mi

Mi
12-2-2021

Antwoord

Vraag 1:

Uit de vraag blijkt niet duidelijk of je alleen het aantal manieren wilt weten waarop de beschikbare zetels kunnen worden verdeeld over de verschillende groeperingen (variant A) of dat ook gekeken wordt naar de verdeling van zetels over individuele vertegenwoordigers (variant B). Voor beide varianten geef ik aan hoe je het aantal mogelijkheden kunt berekenen:

Er zijn twee mogelijke verdelingen van de zetels over de groeperingen: 殚n groepering krijgt 3 zetels, de overige 1 zetel (ik noem dit: verdeling 3-1-1-1), of: twee groeperingen krijgen 2 zetels, de andere twee groeperingen krijgen elk 1 zetel (verdeling 2-2-1-1).

Bij verdeling 3-1-1-1 zijn 4 mogelijkheden om een groepering te kiezen die 3 zetels krijgt, hiermee ligt de keuze van de overige groeperingen vast.

Bij verdeling 2-2-1-1 is het aantal manieren waarop je twee groeperingen kunt kiezen die elk 2 zetels krijgen het aantal combinaties van 2 uit 4, dit zijn 6 mogelijkheden.

In totaal zijn er dus 4+6=10 mogelijkheden om de zetels over de groeperingen te verdelen, onder de voorwaarde dat elke groepering minstens 殚n zetel krijgt (variant A).

Wanneer we ook onderscheid maken tussen individuele personen, dan moeten we bij elke verdeling nog bekijken op hoeveel manieren de zetels door individuen bezet kunnen worden.
Bij de verdeling 3-1-1-1 gaat dit als volgt:

• Er zijn 4 mogelijkheden om een groepering te kiezen die 3 zetels krijgt. Binnen de gekozen groepering is het aantal mogelijkheden om de 3 zetels over 4 individuen te verdelen het aantal combinaties van 3 uit 4, dit zijn 4 mogelijkheden. Dan moet nog 殚n individu uit groepering 2 gekozen worden (4 mogelijkheden), evenals uit groepering 3 en 4 (beide weer 4 mogelijkheden. Het totaal aantal mogelijkheden bij de verdeling 3-1-1-1 wordt hiermee:
  4򉕘򉕘=1024 mogelijkheden.

Bij de verdeling 2-2-1-1:

• Er zijn 6 mogelijkheden om twee groeperingen te kiezen die elk 2 zetels krijgen (zie boven). Binnen de eerste groepering is het aantal mogelijkheden om de twee zetels te verdelen het aantal combinaties van 2 uit 4, dat zijn 6 mogelijkheden. Voor de tweede groepering met twee zetels heb je natuurlijk ook 6 mogelijkheden. De twee overige groeperingen hebben elk 4 mogelijkheden om hun vertegenwoordiger te kiezen. Het totaal aantal mogelijkheden bij de verdeling 2-2-1-1 wordt hiermee:
  6򉼲򉕘=3456 mogelijkheden.
  

Voor variant B zijn dus 1024+3456=4480 mogelijkheden om de zetels over de groeperingen te verdelen, onder de voorwaarde dat elke groepering minstens 殚n zetel krijgt.

Vraag 2 kan je op gelijksoortige wijze aanpakken.

GHvD
14-2-2021