WisFaq!

Een differentiaalvergelijking oplossen

Hoe los je de DV f'(x)+3f(x)=1 op?
Ik heb problemen met die 1

nico vandoorne
8-2-2021

Antwoord

Het is een lineaire vergelijking; die gaat meestal in drie stappen.
1. Los de homogene op: $f'+3f=0$ (algemene oplossing $f_h(x)=Ce^{-3x}$, met $C$ een vrij te kiezen constante)
2. Zoek één (particuliere) oplossing $f_p$ van de vergelijking zelf; hier kun je met een scheef oog zien dat de constante functie $f_p(x)=\frac13$ een oplossing is.
3. Combineren, wegens de lineariteit is elke oplossing van de vorm $f(x)=f_p(x)+f_h(X)$, dus de algemene oplossing is $f(x)=\frac13+Ce^{-3x}$, met $C$ vrij te kiezen (die hangt meestal van een beginvoorwaarde af).

Ad 2: daar zijn ook gerichte methoden voor: variatie van constante (probeer $f_p$ van de vorm $C(x)\cdot e^{-3x}$, na invullen komt er een primitiveerprobleem voor $C'$), of integrerende factor (vermenigvuldig de hele vergelijking met $e^{3x}$, en herken links de afgeleide van $f(x)\cdot e^{3x}$, dan heb je weer een primitiveerprobleem).

kphart
8-2-2021