WisFaq!

Tangensregel

Je hebt de sinusregel en de cosinusregel.
Ik wou nu nog iets bewijzen.
Iets in de trent van een tangensregel(zo een zal er al wel bestaan)
Ik heb iets, maar het klopt niet en toch mak ik geen fouten in m'n denkwijze.
In $\Delta$ABC teken ik een zwartelijn uit A,op BC ,genaamd AD.
Nu geldt er:
tan B=AD/BD
tan C=AD/CD
Dus tan B·BD=tan C·CD (AC²=BC·CD) (AB²=BC·BD)
$\Leftrightarrow$tan B·AB²/BC=tan C·AC²/BC
$\Leftrightarrow$tan B·AB²=tanC·AC²
$\Leftrightarrow$tan B/AC²=tanC/AB²
Hier zitten toch geen foutjes in?
EN HET KLOPT NIET!
waarom niet?
Dank je,
Ruben

Ruben
29-3-2003

Antwoord

In de eerste plaats bedoel je waarschijnlijk dat driehoek ABC een rechthoekige driehoek is, met A als rechthoek.
Immers je gebruikt AC²=BC·CD, en die formule geldt alleen in een rechthoekige driehoek.
Maar dan...
Met een zwaartelijn klopt het helemaal niet (die gaat door het midden van BC).
Met een hoogtelijn AD (de hoeken bij D zijn dan recht) gaat het verder goed, zodat
ALLEEN in een in A RECHTHOEKIGE driehoek geldt:
tan(B)/AC²=tan(C)/AB²
Dus daarom!

En er bestaat ook een tangensregel voor een willkeurige driehoek! Die luidt:
(a+b)/(a-b) = tan¹/₂(A+B) / tan¹/₂(A-B)
met nog twee andere (met a en c en met b en c).
Maar deze regel heb ik zelf nog nooit gebruikt!

dk
29-3-2003