WisFaq!

Rekenen met het produkt van sinussen

Ik heb er geen idee van hoe ik hieraan moet beginnen!!! De opgave is:
sin(10°)·sin(50°)·sin(70°)=¹/₈

RufTerKe
29-3-2003

Antwoord

Er bestaan zogenoemde optellingstheorema's voor de som en het verschil van een sinus en een cosinus.
Eentje daarvan kuidt:
cos(A)cos(B) = ¹/₂cos(A-B) + ¹/₂cos(A+B)
S = sin(10).sin(50).sin(70)
S = sin(10).cos(40).cos(20)
S = sin(10).cos(20).cos(40)
Op de laatste twee factoren passen we de formule toe.
Zodat we vinden:
S = sin(10).¹/₂cos(-20)+sin(10).¹/₂cos(60)
of ook
(1) .... S = ¹/₂sin(10).cos(-20)+¹/₄sin(10)
Er is nog zo'n optellingsformule:
sin(A).cos(B)= ¹/₂sin(A-B) + ¹/₂sin(A+B)
Passen we die toe op sin(10).cos(-20), dan is die uitdrukking gelijk aan:
¹/₂sin(30) + ¹/₂sin(-10)
Kijken we nu naar weer uitdrukking (1).
S = ¹/₄sin(30) + ¹/₄sin(-10) + ¹/₄sin(10), zodat inderdaad
S = ¹/₈

Zou het ook korter kunnen?

dk
29-3-2003