WisFaq!

Peano

Beste,

Peano en Zermelo:

Ik weet dat ZF systeem sterker is dan die van PA systeem omdat ZF meer axioma's biedt dan die van PA. PA systeem is de unieke die de rekenkunde formeel uit te drukken.
PA kan consistent zijn ( te bewijzen) binnen de regels van ZF systeem.

Mijn vraag is: kan ik op deze manier bewijzen dat rekenkunde consistent is?

Alvast bedankt.

Mik
12-1-2021

Antwoord

Meer axioma's maakt een theorie niet noodzakelijk sterker. En verder klopt het niet dat ZF meer axioma's dan PA heeft: zet de lijsten maar naast elkaar, ze zijn verschillend.

Wat wel klopt is dat je binnen ZF een structuur kunt maken die aan alle axioma's van PA voldoet; in feite zijn de axioma's van PA stellingen van ZF. Daarom is ZF sterker dan PA: het bewijst de consistentie van PA.

Maar, dit is een relatief consistentiebewijs: het heeft alleen betekenis als ZF zelf consistent is. En dat kan ZF niet van zichzelf bewijzen.

kphart
13-1-2021