WisFaq!

Het scheiden van variabelen

Hoe kom ik aan het volgende antwoord:
(2x-3)³.e^(2x-3)

Opgave:

(2x-3)y'-4xy=0 als x=2 en y=e

(2x-3)y'=4xy

y'=(4xy)/(2x-3)
dy/dx = (4xy)/(2x-3)
dy=(4xy)/(2x-3)dx
dy/y=(4x)/(2x-3)dx

stel: t= (2x-3)-® ¹/₂ dt = dx
F=integraal teken


F dy/y = 1/2F((4x)/t) dt

Wat gebeurd er met 4x?

BS
29-3-2003

Antwoord

Je was zo te zien al een heel eind gekomen.
Laten we maar beginnen bij de stap:

dy/y = 4x/(2x-3) dx
Het stukje 4x/(2x-3) gaan we even een beetje anders schrijven:
4x/(2x-3) = (4x-6+6)/(2x-3) = (4x-6)/(2x-3) + 6/(2x-3)
= 2 + 6/(2x-3)
De primitieve (naar x) hiervan is 2x + 3ln|2x-3| + C

Dus: dy/y = 4x/(2x-3) dx Þ
ln|y| = 2x + 3ln|2x-3| + C Û
ln|y| = 2x + ln|2x-3|³ + C Û
ln|y|-ln|2x-3|³=2x+C Û
ln(y/(2x-3)³)=2x+C Û
y/(2x-3)³=e^2x+C
randvoorwaarde y=e als x=2 invullen:
e = e^4+C Þ C=-3

en dus is y=(2x-3)³.e^2x-3

groeten,
martijn

mg
29-3-2003