WisFaq!

Rij met oppervlakte die er bij komt berekenen

Beste,

Ik vroeg me af hoe je de formule van de rij kunt afleiden:



De oplossing was: (8/5)-(3/5)·(4/9)^k.

Ik dacht dat je het kon doen door de bijkomende oppervlakte te berekenen maar dan heb ik de basis nog als onbekende.

Met vriendelijke groet en alvast bedankt voor het antwoord.

Jordi Moens
27-12-2020

Antwoord

Hallo Jordi,

Bekijken we het klein, dan zien we dat:

Bij $P_0$ met oppervlakte $A_0=1$ heeft de figuur 3 zijden, van zeg a. Op elke zijde wordt een driehoekje geplakt. Elke zijde wordt daardoor "vervangen" door 4 kleinere zijden van lengte $\frac 13a$. Omdat de zijde van de opgeplakte driehoekjes $\frac 13$ is van de oorspronkelijke zijde, is de oppervlakte van de opgeplakte driehoekjes $(\frac 13)^2=\frac 19$ van de oorspronkelijke driehoek.

Samengevat: Aan $P_0$ worden 3 driehoekjes met een oppervlakte van elk $\frac 19$ toegevoegd om $P_1$ te krijgen: $A_1=1+3\cdot \frac 19$.

$P_1$ heeft nu 3*4 = 12 zijden met lengte $\frac 13a$ aan elke zijde wordt weer een driehoekje geplakt. Elke zijde wordt daardoor "vervangen" door 4 kleinere zijden van lengte $\frac 13 \cdot \frac 13a = (\frac 13)^2a$. Omdat de zijde van de opgeplakte driehoekjes $\frac 19$ is van de oorspronkelijke zijde, is de oppervlakte van de opgeplakte driehoekjes $(\frac 19)^2$ van de oorspronkelijke driehoek.

Samengevat: Aan $P_1$ worden 12 driehoekjes met een oppervlakte van elk $(\frac 19)^2$ toegevoegd om $P_2$ te krijgen: $A_2=1+3\cdot \frac 19 + 3\cdot 4 \cdot (\frac 19)^2$.

$P_2$ heeft nu 3*4*4 = 48 zijden met lengte $(\frac 13)^2a$. Aan elke zijde wordt wederom een driehoekje geplakt. Elke zijde wordt daardoor "vervangen" door 4 kleinere zijden van lengte $(\frac 13)^3a$. Omdat de zijde van de opgeplakte driehoekjes $(\frac 13)^3$ is van de oorspronkelijke zijde, is de oppervlakte van de opgeplakte driehoekjes $((\frac 13)^3)^2=(\frac 19)^3$ van de oorspronkelijke driehoek.

Samengevat: Aan $P_2$ worden $3\cdot 4^2$ driehoekjes met een oppervlakte van elk $(\frac 19)^3$ toegevoegd om $P_3$ te krijgen: $A_3=1+3\cdot \frac 19 + 3\cdot 4 \cdot (\frac 19)^2 + 3\cdot 4^2 \cdot (\frac 19)^3$.

Als je de regelmaat ziet, dan kun je dit vertalen in de algemene formule:
$$A_n = 1 + \sum_{k=1}^n 3\cdot 4^{k-1} \cdot (\frac 19)^k
=1 + \frac 34\sum_{k=1}^n (\frac 49)^k$$De oplossing kun je nu vinden met de algemene formule voor de som van een meetkundige rij.

Succes!

Met vriendelijke groet,

FvL
28-12-2020