WisFaq!

Bewijs dat verzameling strategieën gesloten is

Gegeven is de verzameling gemixte strategieën:
$\Delta_n = \{ q \in R^n | q_1 +...+ q_n = 1, \forall j \in \{1,...,n\}: q_j \geq 0\}$.
Gevraagd wordt om te bewijzen dat deze verzameling gesloten is in $R^n$.

Ik heb dat eerst geprobeerd door te bewijzen dat de afsluiting van $\Delta_n$ bevat is in $\Delta_n$. Hierin gebruik gemaakt van de definitie van limietpunten en toen proberen direct te bewijzen. Ik kom er echter niet uit.

Groeten,

Richard

Richard
11-11-2020

Antwoord

Ik zou bewijzen dat het complement open is.
Stel $q\notin\Delta$. Dat zijn er een paar mogelijkheden: er is een $i$ met $q_i < 0$ of $q_1+\cdots+q_n\neq1$. In het eerste geval neem je $r=-\frac12q_i$, in het tweede geval neem je $r=|1-(q_1+\cdots+q_n)|/(2n)$.
Bewijs nu dat de bol $B(q,r)$ om $r$ met straal $r$ disjunct is van $\Delta$.

kphart
11-11-2020