WisFaq!

Gulden Snede: Stichting Vierkant Kalender 1999

We moeten voor een PO alle formules van deze kalender oplossen. Bij de formule voor zaterdag
F1·F2 + F2·F3+... + F2n-1·F2n = ?
kom ik echter niet erg veel verder dan een simpele uitwerking. Het probleem is dat ik een antwoord moet hebben, én er een bewijs bij moet hebben.
Bijvoorbeeld invullen voor n=1
1·1 = 2
F1·F2 = F2
Bijvoorbeeld invullen voor n=2
1·1 + 1·2 + 2·3 = 9
F1·F2 + F2·F3 + F3·F4 = F2 + F6
Bijvoorbeeld invullen voor n=3
1·1 + 1·2 + 2·3 + 3·5 + 5·8 = 64
F1·F2 + F2·F 3 + F3·F4 + F4·F5 = F2 + F6 + F10
Bijvoorbeeld invullen voor n=4
1·1 + 1·2 + 2·3 + 3·5 + 5·8 + 8·13 = 64
F1·F2 + F2·F3 + F3·F 4 + F4·F5 + F5·F6 + F6·F7 + F7·F8 = F2 + F6 + F10 + F14
De keten wordt steeds verlengd met +Fvorige+4
Dus:
F1·F2+F2·F3+...+F2n-1·F2n= ?

Zo ver kom ik tot nu toe…..

Rick Bakker
27-3-2003

Antwoord

Je was al een aardig stukje op weg met die formule bij zaterdag 3 april 1999.
Allereerst, de waarde van de som bij n = 4 lijkt mij onjuist; je bent een term vergeten op te schrijven, nl. F(7)*F(8) = 13*21.
Als je dan goed optelt, krijg je:
64 (de vorige) + 104 + 273 = 441.
Ik geef de rij van Fibonacci nog eens weer:
F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=5, F(6)=8, F(7)=13, F(8)=21, ...
We kijken eens naar wat je als som S gevonden hebt bij de opvolgende waarden van n, waarbij we ook 2n bekijken.
S(1)=1 en 2n=2
S(2)=9 en 2n=4
S(3)=64 en 2n=6
S(4)=441 en 2n=8
...
Kijk nu nog eens naar de F-rij zelf, en wel bij de waarden n=2,4,6,8, ...
Zie je dan een verband tussen F(2n) en de door jou gevonden sommen?
Dus: F(1)*F(2) + F(2)*F(3) + ...+ F(2n-1)*F(2n) = ...

dk
27-3-2003