WisFaq!

Differentiëren met verschillende regels

Hoi,
Ik zit vast bij het maken van een oefening en ik hoop dat je me verder zou kunnen helpen. Het gaat namelijk over een opgave waarin je verschillende regels in gebruikt. Ik denk dat ik het tot een bepaald stukje juist heb gedaan maar daarna zit ik dus vast...

Opgave:

$
f(x) = \sqrt x \cdot \root 4 \of {x^3 - 2x^2 + 6}
$

Uitkomst:

$\eqalign{
f'(x) = {{5x^3 - 8x^2 + 12} \over {4\sqrt x \root 4 \of {\left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^3 } }}
}$

Melike
16-10-2020

Antwoord

In je uitwerking ben je vergeten rekening te houden met het feit dat bij het differentiëren de exponent $\frac{1}{4}$ op $-\frac{3}{4}$ uitkomt.

Het gaat dan zo:

$
\eqalign{
& f(x) = \sqrt x \cdot \root 4 \of {x^3 - 2x^2 + 6} \cr
& f(x) = x^{{\textstyle{1 \over 2}}} \cdot \left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{{1 \over 4}} \cr
& f'(x) = {1 \over 2}x^{ - {1 \over 2}} \cdot \left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{{1 \over 4}} + x^{{1 \over 2}} \cdot {1 \over 4}\left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{ - {3 \over 4}} \cdot \left( {3x^2 - 4x} \right) \cr
& f'(x) = {1 \over {2x^{{1 \over 2}} }} \cdot \left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{{1 \over 4}} + x^{{1 \over 2}} \cdot {1 \over {4\left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{{3 \over 4}} }} \cdot \left( {3x^2 - 4x} \right) \cr
& f'(x) = {{\left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{{1 \over 4}} } \over {2x^{{1 \over 2}} }} + {{x^{{1 \over 2}} \cdot \left( {3x^2 - 4x} \right)} \over {4\left( {x^3 - 2x^2 + 6} \right)^{{3 \over 4}} }} \cr}
$

Nu kun je 's proberen of je deze twee breuken onder één noemer kunt brengen en de uitdrukking ontdoen van de gebroken exponenten. Als dat lukt dan ben je er wel!

Zou dat lukken? Anders nog maar vragen...

WvR
16-10-2020