WisFaq!

Dobbelstenen gooien en boeken verdelen

Beste

Ik zit weer eens vast met enkele vragen. Namelijk:
1. Hoeveel uitkomsten kunnen we verkrijgen bij het k keer na elkaar gooien van een dobbelsteen. (als de volgorde niet van belang is)

We hebben hier te maken met een herhalingscombinatie. de uitkomst is k'C6 of dus kC(k+5). Mijn vraag is: hoe interpreteer ik deze notatie? Hoe wordt deze verwoord? En wat is het verschil met de herhalingscombinatie 6'Ck?

Volgende:
2) Op hoeveel manieren kun je twaalf verschillende boeken verdelen over tien personen waarbij elke persoon minstens één boek krijgt?

Herhaling is niet mogelijk en de volgorde is (denk ik) niet van belang. Ik heb een soortgelijke oefening gemaakt waarbij er gebruik werd gemaakt van 'pakketjes' die ik niet bepaald snapte. Wordt hier een soortgelijke oplossingsmanier gebruikt?

Sorry voor de vele vragen, maar ik probeer zoveel mogelijk inzicht te verkrijgen in deze soort oefeningen.

Alvast bedankt!

2.

ph
14-10-2020

Antwoord

1. Als de volgorde er niet toe doet gaat het dus om rijen $(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ waarbij je eerst een aantal $1$-en ziet, dan een aantal $2$-en, $\dots$, en een aantal $6$-en (en sommige van die aantallen kunnen nul zijn.
Zet nu bij elke overgang een schotje, bij een overgang als $2,2,4,4$ zet je er twee, en als de rij met $a_1=2$ begint zet je een schotje aan het begin.
Dit kun je zien als vijf posities uit $k+5$ posities kiezen, en de rest opvullen met aantallen ogen: links van het eerste schotje $1$-en, tussen het eerste en het tweede $2$-en, enzovoort.
Daar komt het antwoord $\binom{k+5}{k}=\binom{k+5}5$ dus vandaan: kies $5$ uit $k+5$. Dat is wat de notatie $kC(k+5)$ verwoord: "$k$ uit $k+5$".
In het algemeen kun je op deze manier een probleem met herhalingscombinaties vertalen naar een probleem met combinaties. Zie onderstaande link voor uitleg.

2. Ik weet niet of dit `soortgelijk' is want je hebt die methode dus niet beschreven.
Het antwoord hierop wordt gegeven met behulp van
Stirlinggetallen van de tweede soort; die geven aan op hoeveel manieren je de twaalf boeken in tien `pakjes' kunt verdelen. Dat aantal moet je met $10!$ vermenigvuldigen om die tien pakjes telkens over de tien mensen te verdelen.

Zie (Herhalings)combinaties [https://www.wiskundeleraar.nl/page3.asp?nummer=10714]

kphart
14-10-2020