WisFaq!

Volledige inductie

Toon aan met het principe van volledige inductie dat
(k=1)Σ(2n) (k³) = n²·((2n+1)²) voor elke n is een element van $\mathbf{N}$ zonder 0.

Ik denk dat ik de basisstap al heb bewezen (9=9) dus LL=RL. En ook de inductiehypothese :

(k=1)Σ(2p) (k³) = p²·((2p+1)²).
Dan heb ik de uitspraak voor p+1 bewezen:
(k=1)Σ(2(p+1) (k³)=((2p+2)²)·((4p+5)²).
Maar vanaf het bewijs zit ik dus vast, ik heb bekomen :
(k=1)Σ(2p+2) (k³)= (k=1)Σ(2p) (k³) +
((2p+1)²)·(2(2p+1)+1)² +
(((2p+2)²)·(2(2p+2)+1))²

Ergens zit ik fout in mijn formule, maar ik weet niet waar en hoe ik verder moet. Kan iemand me verder helpen?

Vic
2-10-2020

Antwoord

1. Voor $p+1$ moet er staan
$$\sum_{k=1}^{2p+2}k^3 = (p+1)^2(2p+3)^2
$$(niet $2p+2$ maar $p+1$ rechts invullen).
2. Wat je denkt te hebben bekomen heb je niet bekomen, wat wel geldt is dit
$$\sum_{k=1}^{2p+2}k^3=\sum_{k=1}^{2p}k^3+(2p+1)^3+(2p+2)^3
$$Op $\sum_{k=1}^{2p}k^3$ kun je de inductiehypothese toepassen en dan moet je het resultaat dus omwerken tot $(p+1)^2(2p+3)^2$

kphart
2-10-2020