WisFaq!

Som van oneindig meetkundige reeks

Goede morgen
Twee oefeningen houden mij bezig :
1 ste oef.
S= 1/3+1/2+3/4+4/8....= ?
Ik gebruik de formule :
Som MR (oneindig)=S .Met a = eerste term en r= reden
S= a/(1-r)
t(2)=t(1).r
1/2=1/3.r waaruit r=3/2.
Invullend geeft dat dan
S= 1/3/(1/3-3/2)= 1/3/(-7/6)= -6/21 =-2/7
S=-6/7 en het antwoord luidt : oneindig..

2 de oef.:
S=1/3-1/2+3/4-9/8......
t(2)=t(1)r
-1/2=1/3r waaruit r=-3/2
We vullen in:
S=1/3/(1/3-(-3/2)
S= (1/3):(11/6)
s= 6/33=2/11 en het antwoord luidt nu :"bestaat niet" .
Wat loopt er hier mis? Is mijn conclusie onjuist?
Vriendelijke groeten
Rik

Rik Lemmens
26-8-2020

Antwoord

Het lijkt me dat de som van positieve getallen moeilijk negatief kan worden; daar zou al een belletje moeten gaan rinkelen.
Verder staat er ongetwijfeld in het boek dat de somformule alleen geldt als de reden strikt tussen $-1$ en $1$ ligt.
Dat volgt door naar de partiële sommen te kijken: als $r\neq1$ hebben we
$$S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n= a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}
$$alleen als $|r| < 1$ bestaat $\lim_n S_n$, en deze limiet is dan gelijk aan $a/(1-r)$. Als $r=1$ geldt $S_n=a(n+1)$.
In je eerste som geldt
$$S_n = \frac13\cdot\frac{1-(\frac32)^{n+1}}{1-\frac32} = \left(\frac32\right)^n-\frac23
$$nemen we de limiet voor $n$ naar $\infty$ dan krijgen we wel degelijk oneindig.
In je tweede som vinden we
$$S_n=\frac13\cdot\frac{1-(-\frac32)^{n+1}}{1+\frac32} = \frac2{15}\cdot\left( 1-\left(-\frac32\right)^n\right)
$$Van deze rij $S_n$-en bestaat de limiet dus niet.

kphart
26-8-2020