WisFaq!

Kampeerders rond een cirkelvormig meer

Twee campeerders slagen hun tenten op op plaats a en b aan een cirkelvormig meer.
De cirkel heeft straal 1.
co a(1,0) en co b(0,1)
(tip:Het is dus een goniometrische cirkel.)
Een 3e campeerder slaagt zijn tent op in plaats c op deze cirkel.
Waar, aan de oever van het meer , moet hij zijn tent op slaan zodat de som van afstanden van de tent c tot de tent a en van de tent b tot c maximaal zijn.

Nou ik dacht zo
Welk punt ligt het meest verwijderd?
Dus het moet al zeker in het 3e kwadrant liggen.
Als het punt in het eerte kwadrant zou moeten liggen dan zou het dus op punt ((√2)/2,(√2)/2)
Het is eerder intuïtie, maar het schijnt wel te kloppen.
Maar Dat is het niet, het moet op de hele cirkel zijn.
Dus is het hetzelfde maar dan in het derde kwadrant dus tegengestelde coördinaten.
co c(-(√2)/2,-(√2)/2)
De afstand van beide is dan gelijk, met extremumproblemen is dit ook zo maar dan met lengte en breedte.
De som der afstanden is dan 2√(2+√2).
Deze afstand heb ik berekent met de cosinus regel.
Is dit ongeveer een beetje juist?
Dank je,
Ruben

Ruben
26-3-2003

Antwoord

Ja dat is juist. Dat kun je intuïtief inzien als je alle punten in het vlak bekijkt die dezelfde som der afstanden hebben als het punt (-√2/2,-√2/2). Die punten vormen een ellips om de cirkel, die de cirkel alleen raakt in het punt (-√2/2,-√2/2). In dit punt moet de som der afstanden dus maximaal zijn.

In formulevorm: 'Som der afstanden' = √{(1-x)² + y²} + √{(1-y)² + x²} (ellipsvergelijking)

met de eis dat x² + y² = 1

Invullen en maximaliseren levert dan de juiste oplossing.

Zie Ellipsen [http://www.pandd.demon.nl/ellips/ellips.htm]

MvH
27-3-2003