WisFaq!

Re: Re: Limiet van exponentiële functie

Dag Klaas Pieter .
Ik heb U in teller en noemer weg gedeeld en bekom dan ook:
lim (u naar 0)ln (1/u+2)/3
y=ln ²/₃ waaruit e²/3
Groetjes

Rik Lemmens
21-7-2020

Antwoord

Dit geloof je zelf niet: de ene $u$ staat in de logaritme, de andere staat er buiten, dus die kunnen op geen enkele manier tegen elkaar wegvallen.
Verder gaat $u$ naar $0$, dus $(\frac1u+2)/3$ gaat naar oneindig (positieve $u$) en naar $-\infty$ (negatieve $u$) in het laatste geval bestaat $\ln(\frac1u+2)$ helemaal niet en in het eerste gaat de logaritme naar oneindig.
Ook de regel "$y=\ln(2/3)$ waaruit $e^{2/3}$" klopt niet; op zijn best moet daar staan: "$\ln y=\frac23$ en dus $y=e^{\frac23}$".

Wat gebeurt is dit: we noemen de eerste limiet $L$, dus
$$L=\lim_{u\to0}(1+2u)^{\frac1{3u}}
$$logaritme nemen
$$\ln L=\lim_{u\to0}\frac1{3u}\ln(1+2u)
$$Limiet bepalen
$$\lim_{u\to0}\frac23\cdot\frac{\ln(1+2u)}{2u}=\frac23\cdot1
$$Hierbij is een standaardlimiet gebruikt:
$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1
$$Dus, als boven: $\ln L=\frac23$, en daarmee $L=e^{\frac23}$.

kphart
22-7-2020