WisFaq!

Moeite met een complex getal

Goed morgen,
Gegeven is het getal C:
z(n)=(-3+√3i)ⁿ
Zoek nu de kleinste waarde van n€C(niet nul) zodat Z(n) reëel zou zijn.
Ik rekende reeds uit volgens het goniometrisch model
dat :
r=√(3²-3)=2√3
Tan(-√3/3 = -30 ° of 15° in, kwadrant II
Goniometrish heb ik dan:
{2√3(cos(150°+K360°)sin(150°+k360)}ⁿ..
De Moivre geeft dan :
{2sqrt(3)ⁿ}.{(cos(n150°)+isin(n150°)}
Maar verder kan ik niet werken.
Antwoord n=6 volgens mijn oefeningenbundelcursus
Graag wat bijstand aub.
Groetjes
Rik
Groeten

RIK LEMMENS-
7-7-2020

Antwoord

Het is in dit geval toch handiger met radialen te werken; dan zie je het antwoord $64 bijna meteen: je kunt het gegeven getal $-3+\sqrt3\mathrm{i}$ schrijven als
$$2\sqrt3(\cos\tfrac56\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\tfrac56\pi)
$$De hoek die bij een rëeel getal hoort is een veelvoud van $\pi$, dus je moet bepalen wanneer $n\cdot\frac56\pi$ een veelvoud van $\pi$ is, en dat is als $n$ een veelvoud van $6$ is.

Met graden kan ook, dan moet $150n$ een veelvoud van $180$ zijn, maar bij complexe getallen krijgen radialen de voorkeur.

kphart
7-7-2020