WisFaq!

Raaklijnen aan een cirkel

Gegeven is een gelijkbenige driehoek ?ABC met top A, ingeschreven in de cirkel K(O, r). Rechte p door A snijdt BC in D en (K) in E. Rechte q door A en evenwijdig aan de raaklijn t in B aan (K). Deze rechte q snijdt BC in D'. Toon dan aan dat de cirkel (BDE) resp. cirkel (ACD') raakt aan AB, waarbij (ACD') ook nog eens door O gaat.

Voor wat betreft de cirkel (BDE) heb ik onderstaand bewijs gevonden $\to$ Cirkel (BDE): De stand van de rechte p door de top A is vrij te kiezen; p snijdt de basis BC van ?ABC alsook de omgeschreven cirkel (K). Indien echter p de stand AB aanneemt (en dat geldt ook voor de stand AC) dan vallen beide snijpunten D en E samen met B. Dat betekent dat AB zal raken aan de cirkel K₁(M, BM) gaande door B, D en E. $\to$ Voor wat de 2e deel betreft, probeerde ik aan te tonen dat AB² = BC.BD', waaruit zou volgen dat AB raakt aan de cirkel (ACD') = (K₂). Dat lukte me niet, bovendien kan ik enkel grafisch aantonen dat de cirkel (ACD') ook door O gaat. Ik heb ook gedacht aan een eventuele homothetie maar er is geen gepaste factor te vinden in het gegeven, dus ik denk dat dit tot niets leidt.

Ik hoop op een tip om mij op de juiste weg te zetten zodanig dat ik zelf deze meetkundige oefening kan oplossen.



Van harte bedankt om mij op de juiste weg te zetten.

Yves De Racker
13-6-2020

Antwoord

Hallo Yves,

Ik vind je eerste bewijs niet zo overtuigend. Ik zou zelf kiezen voor het kijken naar omtrekshoeken: Beginnend met twee omtrekshoeken in $K$ zien we dat $\angle BEA = \angle BCA = \angle ABC$ (dat laatste vanwege het gelijkbenig zijn van $\Delta ABC$). En met het gelijkwaardige $\angle BED = \angle ABD$ heb je in $K_1$ te pakken dat $AB$ raaklijn moet zijn.

Voor het tweede bewijs laten we $R$ het tweede snijpunt (naast $A$) van $q$ met $K$ zijn. Begin eens aan te tonen dat $BO$ middelloodlijn is van $AR$ en dat $\angle BCA = \angle BRA$. Toon daarmee aan dat $\Delta BRA \cong \Delta ABC$. Kun je nu toewerken naar $\angle CD'A = \angle CAB$ en $\angle CAO = \angle CD'O$ met bijbehorende conclusies?

Succes.

Met vriendelijke groet,

FvL
13-6-2020