WisFaq!

Re: Sigma-notatie

Dankuwel, ik snap wel dat de formule een sommatie is van (a+b)ⁿ maar ik begrijp niet hoe dit te interpreteren hoe loopt:

S 0 tot 5 (5,k)(-a)^k

Is dat -a⁰+-a¹+-...a⁵?

mboudd
30-5-2020

Antwoord

Je vergeet de binomiaalcoëfficiënten! Ik zal je uidrukking uitschrijven en dan nog maar 's verder studeren. In 'je boek' staat er ook nog iets over!

$
\eqalign{
& \left( {1 - a} \right)^5 = \sum\limits_{k = 0}^5 {\left( {\matrix{
5 \cr
k \cr

} } \right)} \cdot \left( { - a} \right)^k \cr
& \left( {1 - a} \right)^5 = \left( {\matrix{
5 \cr
0 \cr

} } \right) \cdot \left( { - a} \right)^0 + \left( {\matrix{
5 \cr
1 \cr

} } \right) \cdot \left( { - a} \right)^1 + \left( {\matrix{
5 \cr
2 \cr

} } \right) \cdot \left( { - a} \right)^2 + \left( {\matrix{
5 \cr
3 \cr

} } \right) \cdot \left( { - a} \right)^3 + \left( {\matrix{
5 \cr
4 \cr

} } \right) \cdot \left( { - a} \right)^4 + \left( {\matrix{
5 \cr
5 \cr

} } \right) \cdot \left( { - a} \right)^5 \cr
& \left( {1 - a} \right)^5 = 1 \cdot 1 + 5 \cdot - a + 10 \cdot a^2 + 10 \cdot - a^3 + 5 \cdot a^4 + 1 \cdot - a^5 \cr
& \left( {1 - a} \right)^5 = 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5 \cr}
$

Get the picture?

Naschrift
Voor wat betreft de bijzondere gevallen:

Gebruik: $\eqalign{
\left( {\matrix{
n \cr
k \cr

} } \right) = {{n!} \over {k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}
}$

Je krijgt dan:

$\eqalign{
\left( {\matrix{
n \cr
2 \cr

} } \right) = {{n!} \over {2! \cdot \left( {n - 2} \right)!}} = {{n!} \over {\left( {n - 2} \right)! \cdot 2!}} = \left( {\matrix{
n \cr
{n - 2} \cr

} } \right)
}$

Of ook:

$\eqalign{
\left( {\matrix{
n \cr
2 \cr

} } \right) = {{n!} \over {2! \cdot \left( {n - 2} \right)!}} = {{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n} \over {1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n - 2}} = {{\left( {n - 1} \right) \cdot n} \over {1 \cdot 2}} = {1 \over 2}n\left( {n - 1} \right)
}$

Bedenk dat je teller en noemer door $
{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n - 2}
$ kunt delen.

Bedoel je dat?

Zie Binomiaalcoëfficiënt [https://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiaalco%C3%ABffici%C3%ABnt]

WvR
30-5-2020