WisFaq!

Convergentie fourierreeks

Ik heb een reeksontwikkeling in sinussen gemaakt, die aan de voorwaarde voldoet dat de eerste n afgeleiden gelijk zijn aan die van $f(x)=x$ deze reeksontwikkeling is:
\[\sum_{k=1}^n{\binom{n}{k}(-1)^{k-1}\frac{\sin(kx)}{k}} \]Ik dacht dat dit naar x zou convergeren als n naar oneidig zou gaan, analoog aan een taylorreeks, maar volgens een plot(n=5) op mijn GR lijkt het er op dat de reeks op [-1,1] convergeerd. Ik kan dit gedrag niet verklaren, convergeert het ook echt op [-1,1] en hoe kan je zoiets exact bepalen? (zoals bij taylorreeksen)

Jan
27-5-2020

Antwoord

Om te beginnen wat je gemaakt hebt is geen reeks; schrijf wat je krijgt maar eens uit voor $n=1$, $2$, $\ldots$.
Je zult zien dat de $n$-som begint met $n\sin x$, en dat de coëfficiënten van hogere sinussen ook telkens veranderen.
Iedere functie
$$f_n(x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\frac{\sin kx}{k}
$$ziet er overal anders uit dan de voorgaande.
Dat neemt niet weg dat inderdaad lijkt te gelden dat
$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=x
$$voor $|x|\le1$. Voorlopig kan ik dat bewijzen voor $|x|<\mathrm{e}^{-1}$ maar dat is nogal een gedoe.
Als je de Taylorreeksen van de functies $f_n$ rond $0$ opschrijft krijg je
$$\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m\cdot s(m,n)}{(2m+1)!}x^{2m+1}
$$waarbij
$$s(m,n)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}k^{2m}
$$(vul voor elke $\sin kx$ de Taylorreeks in, en werk netjes uit).
Het interessante is dat $s(0,n)=1$ voor alle $n$, dus elke reeks begin met $x+\cdots$.
Daarnaast geldt $s(m,n)=0$ als $n >2m$ dus de reeks vervolgt pas bij $m=\frac n2$ (als $n$ even is) of bij $m=\frac{n+1}2$ (als $n$ oneven is).
De afschatting die ik voor de staart heb levert alleen soleaas als $|x|<\mathrm{e}^{-1}$.

kphart
28-5-2020